Integral Calculus
Bimbel SNMPTN - SIMAK UI
Cabang matematika di mana gagasan tentang integral, sifat dan metode penghitungannya dipelajari. Kalkulus integral terkait erat dengan kalkulus diferensial, dan bersama-sama dengannya merupakan dasar analisis matematika. Asal usul kalkulus integral kembali ke periode awal perkembangan matematika dan ini terkait dengan metode kelelahan yang dikembangkan oleh ahli matematika Yunani Kuno Kelelahan, metode. Metode ini muncul dalam pemecahan masalah perhitungan luas bidang dan permukaan bidang, volume benda padat, dan dalam pemecahan masalah tertentu dalam statistik dan hidrodinamika. Ini didasarkan pada perkiraan objek yang sedang dipertimbangkan dengan gambar atau benda berundak, yang terdiri dari gambar planar paling sederhana atau benda khusus (persegi panjang, paralelopiped, silinder, dll.).
Dalam pengertian ini, metode kelelahan dapat dianggap sebagai metode integrasi awal. Perkembangan terbesar dari metode kelelahan pada periode awal diperoleh dalam karya Eudoxus (abad ke-4 SM) dan terutama Archimedes (abad ke-3 SM). Penerapan dan kesempurnaannya selanjutnya dikaitkan dengan nama beberapa sarjana dari abad ke-15-17.
Konsep dasar dan teori kalkulus integral dan diferensial, terutama hubungan antara diferensiasi dan integrasi, serta aplikasinya pada solusi masalah terapan, dikembangkan dalam karya P. de Fermat, I. Newton dan G. Leibniz di akhir abad ke-17. Investigasi mereka adalah awal dari pengembangan intensif analisis matematika. Karya L. Euler, Jacob dan Johann Bernoulli serta J.L. Lagrange memainkan peran penting dalam penciptaannya di abad ke-18. Pada abad ke-19, sehubungan dengan munculnya gagasan tentang batas, kalkulus integral mencapai bentuk yang lengkap secara logis (dalam karya A.L. Cauchy, B. Riemann dan lain-lain). Perkembangan teori dan metode kalkulus integral terjadi pada akhir abad ke-19 dan pada abad ke-20 bersamaan dengan penelitian teori ukuran (Measure) yang memegang peranan penting dalam kalkulus integral.
Melalui kalkulus integral, menjadi mungkin untuk menyelesaikan dengan metode terpadu banyak masalah teoritis dan terapan, baik yang baru yang sebelumnya tidak dapat dipecahkan, dan yang lama yang sebelumnya membutuhkan teknik buatan khusus. Pengertian dasar kalkulus integral adalah dua pengertian integral yang berkaitan erat, yaitu integral tak tentu dan integral pasti.
Integral tak tentu dari fungsi bernilai riil yang diberikan pada interval pada sumbu nyata didefinisikan sebagai kumpulan semua primitifnya pada interval itu, yaitu fungsi yang turunannya merupakan fungsi yang diberikan. Integral tak tentu dari sebuah fungsi $f$ dilambangkan dengan $ \ int f (x) d x $. Jika $F$ adalah beberapa penulisan sederhanyanya $f$, maka maka penulisan sederhana lainnya memiliki bentuk $ F + C $, di mana $C$ adalah konstanta sembarang; karena itu seseorang menulis
$$ \int\limits f(x) dx = F(x) + C .$$
Operasi menemukan integral tak tentu disebut integrasi. Integrasi adalah operasi kebalikan dari diferensiasi:
$$ \int\limits F ^ { \prime } (x) dx = F(x) + C ,\\ d \int\limits f ( x) dx = f(x) dx . $$
Operasi integrasi linier: Jika pada interval tertentu integral tak tentu:
$$ \int\limits f_{1} (x) dx \ \textrm{ dan } \ \int\limits f_{2} (x) dx $$
exist, maka untuk bilangan real apa pun $ \lambda_{1} $ dan $ \lambda_{2} $, integral berikut ada pada interval ini:
$$ \int\limits [ \lambda_{1} f_{1}(x) + \lambda_{2} f_{2} (x)] \ dx $$
dan equals
$$ \lambda _ {1} \int\limits f _ {1} ( x) d x + \lambda _ {2} \int\limits f _ {2} ( x) d x . $$
Untuk integral tak tentu, rumus integrasi menurut bagian berlaku: Jika dua fungsi $u$ dan $v$ dapat dibedakan pada beberapa interval dan jika integral $ \int v du $ ada, begitu pula integral $ \int u dv $, dan rumus berikut berlaku:
$$ \int\limits u d v = uv - \int\limits vd u . $$
Rumus untuk perubahan variabel berlaku: Jika untuk dua fungsi $ f $ dan $ \phi $ ditentukan pada interval tertentu, fungsi gabungan $ f \circ \phi $ masuk akal dan fungsi $ \phi $ dapat dibedakan, maka integral.
$$ \int\limits f[ \phi(t)] \phi^ \prime (t)dt $$
exists and equals.
$$ \int\limits f ( x) d x .$$
Sebuah fungsi yang kontinu pada beberapa interval terbatas memiliki primitif di atasnya dan karenanya ada integral tak tentu untuk itu. Masalah dalam mencari integral tak tentu dari fungsi tertentu diperumit oleh fakta bahwa integral tak tentu dari fungsi elementer bukanlah fungsi elementer, pada umumnya. Banyak kelas fungsi yang dikenal yang membuktikan mungkin untuk mengekspresikan integral tak tentu dalam istilah fungsi dasar. Contoh paling sederhana adalah integral yang diperoleh dari tabel turunan fungsi dasar:
- $ \int x^ \alpha dx = \frac{x^{\alpha + 1 } }{\alpha + 1 } + C $, $ \alpha \neq - 1 $;
- $ \int \frac{dx}{x} = \mathop{\rm ln} | x | + C $;
- $ \int a^{x} dx = \frac{a^{x} }{ \mathop{\rm ln} a} + C $, $ a > 0 $, $ a \neq 1 $; in particular, $ \int e^{x} dx = e^{x} + C $;
- $ \int \sin x dx = - \ cosx + C $;
- $ \int \cos x dx = \ sinx + C $;
- $ \int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \mathop{\rm tan} x + C $;
- $ \int \frac{dx}{\sin^{2}x} = - \mathop{\rm cotan} x + C $;
- $ \int \sinh x d x = \cosh x + C $;
- $ \int \cosh x d x = \sinh x + C $;
- $ \int \frac {dx} {\cosh^{2}x} = \mathop {\rm tanh} x + C $;
- $ \int \frac {dx} {\sinh^{2}x} = - \mathop {\rm cotanh} x + C $;
- $ \int \frac {dx} {x^{2} + a^{2}} = \frac {1}{a} \mathop {\rm arctan} \frac {x}{a} + C = - \frac {1}{a} \mathop {\rm arccotan} \frac {x}{a} + C^ \prime $;
- $ \int \frac {dx} {x^{2} - a^{2}} = \frac {1}{2a} \mathop {\rm ln} \left | x- \frac {a}{x + } a \right | + C $;
- $ \int \frac {dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \mathop {\rm arcsin} \frac {x}{a} + C = - \mathop {\rm arccos} \frac {x}{a} + C ^ \ prime $, $ | x | < | a | $;
- $ \int \frac {dx}{\sqrt {x^{2} \pm a^{2}}} = \mathop {\rm ln} | x + \sqrt {x^{2} \pm a^{2}} | + C $ ( bila $ x^{2} - a^{2} $ di bawah akar kuadrat, diasumsikan bahwa $ | x | > | a | $).
Jika penyebut integral menghilang di beberapa titik, maka rumus ini hanya berlaku untuk interval di mana penyebutnya tidak hilang (lihat rumus 1, 2, 6, 7, 11, 13, 15)
Integral tak tentu dari fungsi rasional di atas setiap interval yang penyebutnya tidak hilang adalah komposisi fungsi rasional, string, dan logaritma natural. Menemukan bagian aljabar dari integral tak tentu dari fungsi rasional dapat dilakukan dengan metode Ostrogradski. Integral dari tipe berikut dapat dikurangi dengan substitusi dan integrasi dengan bagian-bagian untuk integrasi fungsi rasional:
$$ \int\limits R \left [ x , \left ( \frac{ax + b }{c x + b } \right ) ^ {r_{1} } \dots \left ( \frac{ax + b }{cx + b } \right ) ^ {r_ {m} } \right ]dx ,$$
dimana $ r_ {1} \ dots r_ {m} $ adalah bilangan rasional; formula integral
$$ \int\limits R (x , \sqrt {ax^{2} + bx + c}) dx $$
$$ \int\limits R \left [x , \left (\frac{a x + b}{c x + b } \right )^{r_{1}} \dots \left ( \frac{a x + b }{c x + b } \right ) ^ {r _ {m} } \right ]d x ,$$
Dimana $ r _ {1} \dots r_{m} $ adalah bilangan rasional; integral dari formulir
$$ \int\limits R (x , \sqrt {ax^{2} + b x + c }) dx $$
Substitusi Euler; kasus integral dari diferensial binomial Diferensial binomial: Teorema Chebyshev tentang integrasi diferensial binomial; integral dari formulir.
$ \int\limits R ( \sin x , \cos x ) d x ,\ \ \int\limits R ( \sinh x , \cosh x ) d x $
(dimana $ R ( y _ {1} \dots y _ {n} ) $ adalah fungsi rasional); the integrals
$ \int\limits e^{\alpha x } \cos \beta x \ dx ,\ \int\limits e ^ {\alpha x } \sin \beta xdx , $
$$ \int\limits x^{n} \cos \alpha xdx ,\ \int\limits x^{n} \sin \alpha xdx ,$$
$$ \int\limits x^{n} \mathop{\rm arcsin} xdx ,\ \int\limits x^{n} \mathop{\rm arccos} xdx , $$
$$ \int\limits x^{n} \mathop{\rm arctan} xdx ,\ \int\limits x^{n} \mathop{\rm arccotan} x d x ,\ n = 0 , 1 \dots $$
dan banyak lagi. Sebaliknya, misalnya, integral
$$ \int\limits \frac{e^{x} }{x^{n}} dx ,\ \int\limits \frac{\sin x }{x^{n} } dx ,\ \int\limits \frac{\cos x }{x^{n} } dx ,\ n = 1 , 2 \dots $$
tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar.
Integral definitif
$$ \int\limits _{a}^{b} f(x) dx $$
dari suatu fungsi $f$ ditentukan pada suatu interval $ [a , b] $ adalah batas jumlah integral dari jenis tertentu. Jika batas ini ada, $f$ dikatakan sebagai integral Cauchy, Riemann, Lebesgue, dll.
Arti geometris dari integral terikat dengan pengertian luas: Jika fungsi $ f \geq 0 $ kontinu pada interval $ [a, b] $, lalu nilai integralnya
$$ \int\limits _{a}^{b} f(x) dx $$
sama dengan luas trapesium lengkung yang dibentuk oleh grafik fungsi, yaitu himpunan yang batasnya terdiri dari grafik $ f $, segmen $ [a, b] $ dan dua segmen pada garis $ x = a $ dan $ x = b $ membuat gambar tertutup, yang mungkin merosot ke titik-titik (lih. Gambar.).
Angka: i051360a
Penghitungan banyak kuantitas yang ditemukan dalam praktiknya mengurangi masalah penghitungan batas jumlah integral; dengan kata lain, menemukan integral tertentu; misalnya, bidang gambar dan permukaan, volume benda, pekerjaan yang dilakukan gaya, koordinat pusat gravitasi, nilai momen inersia berbagai benda, dll.
Integral pasti linier: Jika dua fungsi $ f_{1} $ dan $ f_{2} $ dapat diintegrasikan pada suatu interval $ [ a , b ] $, lalu untuk bilangan real apa pun $ \ lambda _ {1} $ dan fungsi $ \lambda _ {2} $
$$ \lambda_{1} f_{1} + \lambda _{2} f_{2} $$
juga dapat diintegrasikan pada interval ini dan
$$ \int\limits _ {a}^{b} [ \lambda _ {1} f_{1} (x) + \lambda_{2} f_{2} l(x) ] dx = \ \lambda _ {1} \int\limits_{ a }^{ b } f_{1} (x) dx + \lambda_{2} \int\limits _{a}^{b} f_{2} (x) dx .$$
Integrasi fungsi selama interval memiliki sifat monotonisitas: Jika fungsi $ f $ dapat diintegrasikan pada interval $ [ a , b ] $ dan jika $ [ c , d ] \subset [ a , b ] $, kemudian $f$ dapat diintegrasikan $[ c , d ] $ demikian juga. Integral juga aditif sehubungan dengan interval di mana integrasi dilakukan: Jika $ a < c < b $ dan fungsi $f$ dapat diintegrasikan pada interval $ [ a , c ] $ dan $ [ c , b ] $, kemudian diintegrasikan $ [ a , b ] $, dan :
$$ \int\limits _ { a } ^ { b } f ( x) d x = \ \int\limits _ { a } ^ { c } f ( x) d x + \int\limits _ { c } ^ { b } f ( x) d x . $$
Jika $f$ dan $g$ adalah Integrasi Riemann, maka produknya juga merupakan Integrasi Riemann. Jika $ f \geq g$ atas $ [ a , b ] $, then
$$ \int\limits_{a}^{b} f(x) dx \geq \ \int\limits_{a }^{b} g(x) dx . $$
Jika $f$ dapat diintegrasikan $ [ a , b ] $, lalu nilai absolut $|f|$ juga dapat diintegrasikan $ [a , b ]$ jika $ - \infty < a < b < \infty $, dan
$$ \left | \int\limits _ { a } ^ { b } f ( x) d x \ \right | \leq \ \int\limits _ { a } ^ { b } | f ( x) | d x . $$
Menurut definisi, satu set
$$ \int\limits _ { a } ^ { a } f ( x) d x = 0 \ \ \textrm{ and } \ \ \int\limits _ { b } ^ { a } f ( x) d x = - \int\limits _ { a } ^ { b } f ( x) d x ,\ \ a < b . $$
Teorema nilai rata-rata berlaku untuk integral. Misalnya, jika $f$ dan $g$ apakah Riemann dapat diintegrasikan pada interval $[a, b]$, jika $ m \leq f (x) \leq M $, $ x \in [a, b] $, dan jika $ g $ tidak mengubah tanda di $[a, b]$, yaitu, baik non-negatif atau non-positif sepanjang interval ini, maka terdapat angka $ m \leq \ mu \ leq M $ untuk itu
$$ \int\limits _{a }^{b} f ( x) g(x) dx = \mu \int\limits _ { a } ^ { b } g ( x) d x . $$
Di bawah hipotesis tambahan bahwa $f$ berkelanjutan di $ [a, b] $, ada di $ (a, b) $ a poin $ \xi $ untuk itu
$$ \int\limits _{a }^{b} f(x)g(x) dx = \ f (\ xi) \int\limits_{a}^{b} g(x) dx. $$
Khususnya, jika $ g(x) \equiv 1 $, then
$$ \int\limits _{a}^{b} f(x) dx = f (\ xi) (b - a ) $$
Bimbel SBMPTN - SIMAK UI
