Fungsi Dan Invers

Daftar Bimbel SBMPTN

Daftar Bimbel SIMAK-UI

Fungsi dan Invers keduanya ada hubungan yang saling berhubungan. Mari kita lihat apa hubungan itu. Pertimbangkan evaluasi berikut.

\[\require{color} \begin{align*}f\left( { \color{PineGreen}- 1} \right) & = 3\left( { - 1} \right) - 2 = {\color{Red}- 5} \hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in} & g\left( {\color{Red} - 5} \right) & = \frac{{ - 5}}{3} + \frac{2}{3} = \frac{{ - 3}}{3} = {\color{PineGreen}- 1}\\ & & \\ g\left( {\color{PineGreen}2} \right) & = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = {\color{Red}\frac{4}{3}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in} & f\left( {\color{Red}\frac{4}{3}} \right) & = 3\left( {\frac{4}{3}} \right) - 2 = 4 - 2 = {\color{PineGreen}2}\end{align*}\]

Dalam kasus kedua kami melakukan hal serupa. Di sini kami menghubungkan \(x = 2\) ke \(g \left(x \right)\) dan mendapat nilai \(\frac{4} {3}\), kami berbalik dan mencolokkan ini ke \(f\left (x\right) \) dan mendapat nilai 2, yang merupakan angka yang kita mulai.

Dalam kasus kedua kami melakukan hal serupa. Di sini kami menghubungkan \(x = 2\) ke \(g\left(x\right)\) dan mendapat nilai \(\frac{4} {3}\), kami berbalik dan menyambungkan ini ke \(f\left(x\right)\) dan mendapat nilai 2, yang merupakan angka yang kita mulai.

Perhatikan bahwa kami benar-benar melakukan beberapa komposisi fungsi di sini. Kasus pertama adalah,

\[\left( {g \circ f} \right)\left( { - 1} \right) = g\left[ {f\left( { - 1} \right)} \right] = g\left[ { - 5} \right] = - 1\]

dan kasus kedua adalah,

\[\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right) = f\left[ {g\left( 2 \right)} \right] = f\left[ {\frac{4}{3}} \right] = 2\]

Perhatikan juga bahwa keduanya sesuai dengan rumus untuk komposisi yang kita temukan di bagian sebelumnya. Kami keluar dari evaluasi fungsi nomor yang awalnya kami masukkan ke dalam komposisi.

Jadi, apa yang terjadi di sini? Dalam beberapa hal kita dapat menganggap kedua fungsi ini sebagai membatalkan apa yang dilakukan orang lain pada sebuah angka. Dalam kasus pertama kami menghubungkan\(x = - 1\) into \(f\left( x \right)\) dan kemudian memasukkan hasil dari evaluasi fungsi ini kembali ke \(g\left( x \right)\) dan dalam beberapa cara \(g\left(x \right)\) membatalkan apa yang telah dilakukan \(f\left(x \right)\) pada \(x = - 1\) dan mengembalikan yang asli \(x \) yang kami mulai.

Pasangan fungsi yang menunjukkan perilaku ini disebut fungsi invers. Sebelum secara formal mendefinisikan fungsi invers dan notasi yang akan kita gunakan untuk fungsi tersebut, kita perlu mendapatkan definisi terlebih dahulu.

Suatu fungsi disebut satu-ke-satu jika tidak ada dua nilai dari \(x \) yang menghasilkan \(y \) yang sama. Secara matematis ini sama dengan mengatakan,

\[f\left( {{x_1}} \right) \ne f\left( {{x_2}} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\rm{Hasilnya}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,{x_1} \ne {x_2}\]

Jadi, suatu fungsi adalah satu-ke-satu jika setiap kali kita memasukkan nilai yang berbeda ke dalam fungsi, kita mendapatkan nilai fungsi yang berbeda.

Terkadang lebih mudah untuk memahami definisi ini jika kita melihat fungsi yang bukan satu-ke-satu. Mari kita lihat fungsi yang bukan satu-ke-satu. Fungsi \(f \left(x \right) = {x^2}\) tidak satu-ke-satu karena baik \(f \left({- 2}\right) = 4\) dan \(f \left(2 \right) = 4\). Dengan kata lain, ada dua nilai \(x \) yang menghasilkan nilai \(y \) yang sama. Perhatikan bahwa kita dapat mengubah \(f \left(x \right) = {x^2} \) menjadi fungsi satu-ke-satu jika kita membatasi diri pada \(0 \le x < \infty \). Ini terkadang dapat dilakukan dengan fungsi.

Menunjukkan bahwa suatu fungsi bersifat one-to-one sering kali membosankan dan / atau sulit. Untuk sebagian besar kita akan berasumsi bahwa fungsi yang akan kita hadapi dalam kursus ini adalah one-to-one atau kita telah membatasi domain dari fungsi tersebut untuk membuatnya menjadi satu untuk satu fungsi.

Sekarang, mari kita secara formal mendefinisikan apa itu fungsi invers. Diberikan dua fungsi satu-ke-satu \(f \left (x \right)\) dan \(g \left (x \right)\) jika

\[\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = x\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\rm{dan}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = x\]

lalu kita katakan bahwa \(f \left(x \right) \) dan \(g \left(x \right)\) adalah kebalikan satu sama lain. Lebih khusus lagi kita akan mengatakan bahwa \(g \left(x \right)\) adalah kebalikan dari \(f \left(x \right)\) dan dilambangkan dengan

\[g \left(x \right) = {f ^{- 1}} \left(x \right)\]

Begitu juga, kita juga bisa mengatakan bahwa \(f \left(x \right)\) adalah kebalikan dari \(g \left(x \right)\) dan dilambangkan dengan

\[f \left(x \right) = {g^{- 1}}\left(x \right)\]

Notasi yang kami gunakan sangat bergantung pada masalahnya. Dalam kebanyakan kasus, keduanya dapat diterima.

Untuk dua fungsi yang kita mulai dengan bagian ini, kita bisa menulis salah satu dari dua set notasi berikut.

\[\begin{align*}f\left( x \right) & = 3x - 2\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} & {f^{ - 1}}\left( x \right) & = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}\\ & & & \\ g\left( x \right) & = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}& {g^{ - 1}}\left( x \right) & = 3x - 2\end{align*}\]

Sekarang, hati-hati dengan notasi untuk invers. “-1” BUKAN eksponen meskipun faktanya terlihat seperti eksponen! Ketika berhadapan dengan fungsi invers, kita harus ingat bahwa

\[{f ^{- 1}} \left(x \right) \ne \frac{1} {{f \left (x \right)}}\]

Ini adalah salah satu kesalahan umum yang dilakukan siswa saat pertama kali mempelajari fungsi invers.

Proses untuk menemukan kebalikan dari suatu fungsi adalah proses yang cukup sederhana meskipun ada beberapa langkah yang terkadang bisa agak berantakan. Berikut prosesnya

Menemukan Invers dari sebuah Fungsi

Diberikan fungsi \(f \left(x \right)\) kami ingin mencari fungsi invers, \({f ^{- 1}} \left(x \right)\).

1. Pertama, ganti \(f \left(x \right)\) dengan \(y \). Ini dilakukan untuk membuat proses lainnya lebih mudah.



2. Ganti setiap \(x \) dengan \(y \) dan ganti setiap \(y \) dengan \(x \).



3. Pecahkan persamaan dari Langkah 2 untuk \(y \). Ini adalah langkah di mana kesalahan paling sering dilakukan, jadi berhati-hatilah dengan langkah ini.



4. Gantikan \(y \) dengan \({f ^{- 1}}\left(x \right)\). Dengan kata lain, kami berhasil menemukan kebalikannya pada saat ini!



5. Verifikasi pekerjaan Anda dengan memeriksa bahwa \[\left({f \circ{f ^{- 1}}}\right) \left(x \right) = x\] dan \[\left ({{f ^{- 1}}\circ f}\right)\left(x \right) = x\] keduanya benar. Pekerjaan ini terkadang bisa berantakan sehingga mudah untuk membuat kesalahan, jadi berhati-hatilah.

Itu prosesnya. Sebagian besar langkahnya tidak terlalu buruk, tetapi seperti yang disebutkan dalam prosesnya, ada beberapa langkah yang benar-benar perlu kami perhatikan karena mudah membuat kesalahan dalam langkah tersebut.

Pada langkah verifikasi secara teknis kita benar-benar perlu memeriksa bahwa \(\left({f \circ {f ^{- 1}}}\right) \left(x \right) = x \) dan \(\left ({{f ^{- 1}}\circ f} \right) \left (x \right) = x \) benar. Untuk semua fungsi yang akan kita lihat dalam kursus ini, jika salah satunya benar maka yang lain juga akan benar. Akan tetapi, ada fungsi-fungsi (bagaimanapun juga mereka berada di luar cakupan kursus ini) yang hanya memungkinkan salah satu dari fungsi-fungsi ini menjadi benar. Ini dimunculkan karena dalam semua masalah di sini kami hanya akan memeriksa salah satunya. Kami hanya perlu selalu ingat bahwa secara teknis kami harus memeriksa keduanya.

Mari mengerjakan beberapa contoh.

Contoh 1

Diberikan \(f \left(x \right) = 3x - 2 \) mendapatkan \({f ^{- 1}} \left(x \right)\).

Tunjukkan Solusi

Sekarang, kita sudah tahu apa kebalikan dari fungsi ini karena kita telah menyelesaikan beberapa pekerjaan dengannya. Namun, alangkah baiknya untuk benar-benar memulai dengan ini karena kita tahu apa yang harus kita dapatkan. Ini akan berfungsi sebagai verifikasi proses yang bagus.

Jadi, mari kita mulai. Pertama-tama kita akan mengganti \(f \left(x \right)\) dengan \(y \).

\[y = 3x - 2 \]

Selanjutnya, ganti semua \(x \) dengan \(y \) dan semua \(y \) dengan \(x \).

\[x = 3t - 2 \]

Sekarang, pecahkan untuk \(y \).

\[\begin{align*} x + 2 & = 3y \\ \frac{1} {3} \left({x + 2} \right) & = y \\ \frac{x} {3} + \frac{2} {3} & = y \end{align*}\]

Terakhir, ganti \(y \) dengan \({f ^ {- 1}} \left (x \right)\).

\[{f ^{- 1}} \left(x \right) = \frac{x} {3} + \frac{2} {3}\]

Sekarang, kita perlu memverifikasi hasilnya. Kami sudah menangani ini di bagian sebelumnya, namun, kami benar-benar harus mengikuti prosesnya jadi kami akan melakukannya di sini. Tidak masalah yang mana dari keduanya yang kami periksa, kami hanya perlu memeriksa salah satunya. Kali ini kita akan memeriksa bahwa \(\left({f \circ {f ^{- 1}}} \right) \left(x \right) = x\) benar.

\[\begin{align*}\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right) & = f\left[ {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right]\\ & = f\left[ {\frac{x}{3} + \frac{2}{3}} \right]\\ & = 3\left( {\frac{x}{3} + \frac{2}{3}} \right) - 2\\ & = x + 2 - 2\\ & = x\end{align*}\]

Contoh 2

Diberikan \(g \left(x \right) = \sqrt{x - 3} \) mencari \({g ^{- 1}} \left(x \right) \).

Tunjukkan Solusi

Fakta bahwa kami menggunakan \(g \left(x \right) \) daripada \(f \left(x \right) \) tidak mengubah cara kerja proses. Berikut beberapa langkah pertama.

\[y = \sqrt {x - 3} \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \sqrt {y - 3} \]

Sekarang, untuk menyelesaikan \(y \) kita perlu kuadratkan kedua sisi terlebih dahulu lalu lanjutkan seperti biasa.

\[\begin{align*} x & = \sqrt{y - 3} \\ {x ^ 2} & = y - 3 \\ {x ^ 2} + 3 & = y \end{align*} \]

Kemudian kebalikannya,

\[{g ^{- 1}} \left(x \right) = {x ^ 2} + 3 \]

Terakhir, mari kita verifikasi dan kali ini kita akan menggunakan yang lain hanya agar kita dapat mengatakan bahwa kita mendapatkan keduanya dalam sebuah contoh.

\[\begin{align*}\left( {{g^{ - 1}} \circ g} \right)\left( x \right) & = {g^{ - 1}}\left[ {g\left( x \right)} \right]\\ & = {g^{ - 1}}\left( {\sqrt {x - 3} } \right)\\ & = {\left( {\sqrt {x - 3} } \right)^2} + 3\\ & = x - 3 + 3\\ & = x\end{align*}\]

Jadi, kami melakukan pekerjaan dengan benar dan kami memang memiliki kebalikannya.

Contoh selanjutnya bisa sedikit berantakan jadi berhati-hatilah dengan pekerjaan di sini.

Contoh 3

Diketahui \(\displaystyle h \left(x \right) = \frac{{x + 4}} {{2x - 5}} \) temukan \({h ^{- 1}} \left(x \right)\).

Tunjukkan Solusi

Beberapa langkah pertama kurang lebih sama dengan contoh sebelumnya, jadi inilah dia,

\[y = \frac{{x + 4}}{{2x - 5}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{{y + 4}}{{2y - 5}}\]

Sekarang, berhati-hatilah dengan langkah solusi. Dengan masalah seperti ini sangat mudah untuk membuat kesalahan disini.

\[\begin{align*}x\left( {2y - 5} \right) & = y + 4\\ 2xy - 5x & = y + 4\\ 2xy - y & = 4 + 5x\\ \left( {2x - 1} \right)y & = 4 + 5x\\ y & = \frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}\end{align*}\]

Jadi, jika kita telah melakukan semua pekerjaan kita dengan benar, kebalikannya adalah,

\[{h ^{- 1}} \left(x \right) = \frac{{4 + 5x}} {{2x - 1}} \]

Terakhir, kami perlu melakukan verifikasi. Ini juga merupakan proses yang cukup berantakan dan tidak masalah kami bekerja sama dengan siapa.

\[\begin{align*}\left( {h \circ {h^{ - 1}}} \right)\left( x \right) & = h\left[ {{h^{ - 1}}\left( x \right)} \right]\\ & = h\left[ {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right]\\ & = \frac{{\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}} + 4}}{{2\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right) - 5}}\end{align*}\]

Oke, ini berantakan. Mari kita sederhanakan sedikit dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan \(2x - 1\).

\[\begin{align*}\left( {h \circ {h^{ - 1}}} \right)\left( x \right) & = \frac{{2x - 1}}{{2x - 1}}\,\,\frac{{\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}} + 4}}{{2\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right) - 5}}\\ & = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}} + 4} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right) - 5} \right)}}\\ & = \frac{{4 + 5x + 4\left( {2x - 1} \right)}}{{2\left( {4 + 5x} \right) - 5\left( {2x - 1} \right)}}\\ & = \frac{{4 + 5x + 8x - 4}}{{8 + 10x - 10x + 5}}\\ & = \frac{{13x}}{{13}} = x\end{align*}\]

Wow. Itu pekerjaan yang berat, tapi pada akhirnya semuanya berhasil. Kami melakukan semua pekerjaan kami dengan benar dan kenyataannya kami memiliki kebalikannya.

Ada satu topik terakhir yang perlu kita bahas dengan cepat sebelum kita meninggalkan bagian ini. Ada hubungan yang menarik antara grafik suatu fungsi dan grafik pembalikannya.

Berikut adalah grafik fungsi dan kebalikan dari dua contoh pertama.

Dua grafik. Grafik di sebelah kiri adalah untuk Contoh 1 dan grafik di sebelah kanan adalah untuk Contoh 2. Setiap grafik memiliki garis putus-putus yang mewakili \(y = x \) serta grafik \(f \left (x \right) \) dan \({{f} ^{- 1}} \left(x \right) \). Grafik fungsi dan inverse adalah refleksi satu sama lain tentang garis \(y = x \).

Dalam contoh grafik 1 \(f \left(x \right) \) adalah garis yang dimulai pada kira-kira (0,6,0) dan berakhir pada kira-kira (2,5,6) dan \({{f} ^{- 1}} \left(x \right)\) adalah garis yang dimulai pada kira-kira (0,0.6) dan berakhir pada kira-kira (4,2).

Dalam grafik Contoh s \(f \left(x \right) \) dimulai pada (3,0) dan melengkung ke atas ke kanan dan berakhir pada kira-kira (6, 1.7) dan \({{f} ^{- 1 }} \left(x \right) \) dimulai pada (0,3) dan melengkung ke atas dan berakhir pada kira-kira (2.23, 8).

Dalam kedua kasus tersebut kita dapat melihat bahwa grafik invers adalah cerminan dari fungsi sebenarnya pada garis \(y = x \). Ini akan selalu terjadi pada grafik dari suatu fungsi dan kebalikannya.

kalkulatur kalkulus (matrik & invers)
kalian bisa mencobanya