Ctes Eksakta

Saintek 2019 - Pembahasan Matematika

Bimbel SNMPTN - SIMAK UI

Soal dan Pembahasan UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek sebagai tambahan latihan untuk membantu adik-adik yang ingin melanjutkan pendidikan ke Perguruan Tinggi Negri (PTN) yang adik-adik dambakan.

Himpunan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{a^{2x} + 8}{a^x} > 2a^x$ dengan $0 < a < 1$ adalah . . . .
$A.\ \{x|\ x < \dfrac32\ ^alog\ 2,\ x \in R\}$
$B.\ \{x|\ x < \dfrac23\ ^alog\ 2,\ x \in R\}$
$C.\ \{x|\ x > \dfrac32\ ^alog\ 2,\ x \in R\}$
$D.\ \{x|\ x > 2\ ^alog\ \left(\dfrac32\right),\ x \in R\}$
$E.\ \{x|\ x < 2\ ^alog\ \left(\dfrac32\right),\ x \in R\}$

$\dfrac{a^{2x} + 8}{a^x} > 2a^x$

$\dfrac{(a^x)^2 + 8}{a^x} - 2a^x > 0$
Misalkan

$a^x = p$

$\dfrac{p^2 + 8}{p} - 2p > 0$

$\dfrac{p^2 + 8 - 2p^2}{p} > 0$

$\dfrac{-p^2 + 8}{p} > 0$

$\dfrac{p^2 - 8}{p} < 0$

$p (p + 2\sqrt{2})(p - 2\sqrt{2}) < 0$

$p < -2\sqrt{2}$ atau

$0 < p < 2\sqrt{2}$

Pertama:

$p < -2\sqrt{2}$

$a^x < -2\sqrt{2}$ → (tidak mungkin karena

$a^x$ selalu bernilai positif)

Kedua:

$0 < p < 2\sqrt{2}$

$0 < a^x < 2\sqrt{2}$

$0 < a^x$ dan

$a^x < 2\sqrt{2}$
Karena

$0 < a^x$ selalu benar untuk semua nilai

$x$ jika

$0 < a < 1$ , maka kita hanya perlu meninjau

$a^x < 2\sqrt{2}$ .

$a^x < 2\sqrt{2}$

$log\ a^x < log\ 2\sqrt{2}$

$x.log\ a < log\ 2^{3/2}$

$x.log\ a < \dfrac32.log\ 2$

$x > \dfrac32.\dfrac{log\ 2}{log\ a}$

$x > \dfrac32\ ^alog\ 2$
jawab: C

Jika $0 < a < 1$ , maka $\dfrac{3 + 3a^x}{1 + a^x} < a^x$ mempunyai penyelesaian . . . .
$A.\ x >\ ^alog\ 3$
$B.\ x < -2^alog\ 3$
$C.\ x <\ ^alog\ 3$
$D.\ x > -^alog\ 3$
$E.\ x < 2^alog\ 3$

$\dfrac{3 + 3a^x}{1 + a^x} < a^x$

$3 + 3a^x < a^x + (a^x)^2$

$0 < (a^x)^2 - 2a^x - 3$

$(a^x)^2 - 2a^x - 3 > 0$

$(a^x + 1)(a^x - 3) > 0$

$a^x < -1\ atau\ a^x > 3$
Tidak mungkin

$a^x < -1$ , karena

$a^x$ selalu bernilai positif untuk semua nilai

$a$ dan

$x$ . Dengan demikian kita cukup meninjau

$a^x > 3$ .

$a^x > 3$

$log\ a^x > log\ 3$

$x.log\ a > log\ 3$
Karena

$0 < a < 1$ , maka:

$x < \dfrac{log\ 3}{log\ a}$

$x <\ ^alog\ 3$
jawab: C.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\Bigr||x| + x\Bigr| \leq 2$ adalah . . . .

$A.\ \{x\ |\ 0 \leq x \leq 1,\ x \in R\}$
$B.\ \{x\ |\ x \leq 1,\ x \in R\}$
$C.\ \{x\ |\ x \leq 2,\ x \in R\}$
$D.\ \{x\ |\ x \leq 0,\ x \in R\}$
$E.\ \{x\ |\ x \geq 0,\ x \in R\}$

$\bullet$ Jika

$|f(x)| \leq a → -a \leq f(x) \leq a$

$\bullet$

$|x| = \begin{cases} x ,\ jika\ x \geq 0\\ -x,\ jika\ x < 0 \end{cases}$

$\Bigr||x| + x\Bigr| \leq 2$

$-2 \leq |x| + x \leq 2$

$-2 \leq |x| + x$ dan

$|x| + x \leq 2$

Pertama:

$-2 \leq |x| + x$

$\bullet$ Untuk

$x < 0$ . . . . (*)

$-2 \leq -x + x$

$-2 \leq 0$ . . . . (**)
dari (*) dan (**) tidak ada solusi.

$\bullet$ Untuk

$x \geq 0$ . . . . (*)

$-2 \leq x + x$

$-2 \leq 2x$

$-1 \leq x$

$x \geq -1$ . . . . (**)

$(*) \cap (**) → x \geq 0$ . . . . (1)

Kedua:

$|x| + x \leq 2$

$\bullet$ Untuk

$x < 0$ . . . . (*)

$-x + x \leq 2$

$0 \leq 2$ . . . . (**)
dari (*) dan (**) tidak ada solusi.

$\bullet$ Untuk

$x \geq 0$ . . . . (*)

$x + x \leq 2$

$2x \leq 2$

$x \leq 1$ . . . . (**)

$(*) \cap (**) → 0 \leq x \leq 1$ . . . . (2)

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan adalah:

$(1) \cap (2) → 0 \leq x \leq 1,\ x \in R$
jawab: A

Himpunan penyelesaian dari $\Bigr|x - 1\Bigr| < \dfrac 6x$ adalah interval $(a,\ b)$ . Nilai $3a + 2b$ adalah . . . .

A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
E. 12

$x < 1$ . . . . (*)

$-(x - 1) < \dfrac 6x$

$-x + 1 - \dfrac 6x < 0$

$\dfrac{-x^2 + x - 6}{x} < 0 → x \ne 0$

$\dfrac{x^2 - x + 6}{x} > 0$

$x(x^2 - x + 6) > 0$

$x^2 - x + 6 →$ definit positif, bisa diabaikan.

$x > 0$ . . . . (**)

$(*) \cap (**) → 0 < x < 1$ . . . . (1)

$x \geq 1$ . . . . (*)

$x - 1 < \dfrac 6x$

$x - 1 - \dfrac 6x < 0$

$\dfrac{x^2 - x - 6}{x} < 0 → x \ne 0$

$x(x + 2)(x - 3) < 0$

$x < -2\ atau\ 0 < x < 3$ . . . . (**)

$(*) \cap (**) → 1 \leq x < 3$ . . . . (2)

Himpunan penyelesaian Pertidaksamaan adalah:

$(1) \cup (2) → 0 < x < 3 → (0,\ 3)$

$a = 0,\ b = 3$

$3a + 2b = 3.0 + 2.3 = 6$
jawab: D.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\Bigr|3 - |x + 1|\Bigr| < 2$ adalah . . . .

$A.\ -5 < x < -2$ atau $-1 < x < 4$
$B.\ -6 < x < -2$ atau $-1 < x < 4$
$C.\ -5 < x < -2$ atau $0 < x < 5$
$D.\ -6 < x < -2$ atau $0 < x < 4$
$E.\ -5 < x < -2$ atau $-1 < x < 5$

$\Bigr|3 - |x + 1|\Bigr| < 2$

$-2 < 3 - |x + 1| < 2$

$-2 < 3 - |x + 1|$ dan

$3 - |x + 1| < 2$

Pertama:

$-2 < 3 - |x + 1|$

$|x + 1| < 5$

$-5 < x + 1 < 5$

$-6 < x < 4$ . . . . (1)

Kedua:

$3 - |x + 1| < 2$

$3 - 2 < |x + 1|$

$1 < |x + 1|$

$|x + 1| > 1$

$x + 1 < -1$ atau

$x + 1 > 1$

$x < -2$ atau

$x > 0$ . . . . (2)

Himpunan Penyelesaian adalah

$(1) \cap (2)$

$-6 < x < -2$ atau

$0 < x < 4$
jawab: D.

Himpunan penyelesaian dari $|x - 1| < 3 - |x|$ adalah interval $(a,\ b)$ . Niali $2a + b$ adalah . . . .

$A.\ -3$
$B.\ -2$
$C.\ 0$
$D.\ 2$
$E.\ 3$

$|x - 1| = \begin{cases} x - 1,\ jika x \geq 1 \\ -x + 1,\ jika x < 1 \end{cases}$

$|x| = \begin{cases} x,\ jika x \geq 0 \\ -x,\ jika x < 0 \end{cases}$
Berdasarkan kondisi di atas, ada tiga interval yang harus kita tinjau, yaitu:

$x < 0$ ,

$0 \leq x < 1$ , dan

$x \geq 1$ .

Pertama untuk

$x < 0$ , pertidaksamaan menjadi:

$-(x - 1) < 3 - (-x)$

$-x + 1 < 3 + x$

$-2 < 2x$

$-1 < x$

$x > -1$ . . . . (1)

Kedua untuk

$0 \leq x < 1$ , pertidaksamaan menjadi:

$-(x - 1) < 3 - x$

$-x + 1 < 3 - x$

$0 < 2$ → tidak ada solusi

Ketiga untuk

$x \geq 1$ , pertidaksamaan menjadi:

$x - 1 < 3 - x$

$2x < 4$

$x < 2$ . . . . (2)
Himpunan penyelesaian adalah:

$(1) \cup (2) → -1 < x < 2 → (-1,\ 2)$

$a = -1$

$b = 2$

$2a + b = 2.(-1) + 2 = 0$
jawab: C.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $^2log^2\ x + 2^2log\ 2x > 2$ adalah . . . .
$A.\ \{x|\ 1 < x < 4,\ x \in R\}$
$B.\ \{x|\ \dfrac14 < x < 1,\ x \in R\}$
$C.\ \{x|\ x < \dfrac14\ atau\ x > 1,\ x \in R\}$
$D.\ \{x|\ 0 < x < \dfrac14\ atau\ x > 1,\ x \in R\}$
$E.\ \{x|\ 0 < x < 1\ atau\ x > 4,\ x \in R\}$

$^2log^2\ x + 2^2log\ 2x > 2$

$^2log^2\ x + 2(^2log\ 2 +\ ^2log\ x) > 2$

$^2log^2\ x + 2.^2log\ 2 + 2^2log\ x > 2$

$^2log^2\ x + 2.1 + 2^2log\ x > 2$

$^2log^2\ x + 2^2log\ x > 0$
Misalkan

$^2log\ x = p$

$p(p + 2) > 0$

$p < -2\ atau\ p > 0$

$^2log\ x < -2 → x < \dfrac14$

$^2log\ x > 0 → x > 1$
Himpunan Penyelesaian:

$\{x|\ x < \dfrac14\ atau\ x > 1,\ x \in R\}$
jawab: C.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $(^alog\ x)^2 - ^alog\ x - 2 > 0$ dengan $0 < a < 1$ adalah . . . .
$A.\ x < a^2\ atau\ x > a^{-1}$
$B.\ x < a^2\ atau\ x > a^{-2}$
$C.\ a^2 < x < a^{-1}$
$D.\ a^2 < x < a^{-2}$
$E.\ a^{-2} < x < a^2$

Misalkan

$^alog\ x = p$

$(^alog\ x)^2 - ^alog\ x - 2 > 0$

$p^2 - p - 2 > 0$

$(p + 1)(p - 2) > 0$

$p < -1\ atau\ p > 2$

$0 < a < 1$

$^alog\ x < -1 → x > a^{-1}$
atau

$^alog\ x > 2 → x < a^2$
jawab: A.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^alog^2\ x + 4^alog\ x + 3 < 0$ dengan $a > 1$ adalah . . . .
$A.\ a^{-3} < x < a^{-1}$
$B.\ a^{-1} < x < a^3$
$C.\ a^{-1} < x < a^{-3}$
$D.\ a^{-3} < x < a$
$E.\ 1 < x < a^{-3}$

Misalkan

$^alog\ x = p$

$p^2 + 4p + 3 < 0$

$(p + 3)(p + 1) < 0$

$-3 < p < -1$

$-3 < ^alog\ x < -1$

$^alog\ a^{-3} < ^alog\ x < ^alog\ a^{-1}$

$a^{-3} < x < a^{-1}$
jawab: A

Diketahui sistem persamaan:
$\begin{cases}x^2 + y^2 + 2y = 8 \\ x^2 - y^2 - 2y + 4x + 8 = 0 \end{cases}$
Mempunyai solusi $(x,\ y)$ dengan $x$ dan $y$ bilangan real. Jumlah semua ordinatnya adalah . . . .
$A.\ 4$
$B.\ -4$
$C.\ 2$
$D.\ -2$
$E.\ 0$

$x^2 + y^2 + 2y - 8 = 0$

$x^2 - y^2 - 2y + 4x + 8 = 0$
-------------------------------------- +

$2x^2 + 4x = 0$

$x^2 + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

$x = 0\ atau\ x = -2$

$jika\ x = 0:$

$0^2 + y^2 + 2y - 8 = 0$

$y^2 + 2y - 8 = 0$

$y_1 + y_2 = -\dfrac ba = -\dfrac21 = -2$

$jika\ x = -2:$

$(-2)^2 + y^2 + 2y - 8 = 0$

$y^2 + 2y - 4 = 0$

$y_3 + y_4 = -\dfrac ba = -\dfrac21 = -2$

$\begin{align} y_1 + y_2 + y_3 + y_4 &= -2 + (-2)\\ &= -4 \end{align}$
jawab: B.

Jika $(a,\ b)$ merupakan solusi real dari persamaan kuadrat
$\begin{cases}x^2 + y^2 - 2x = 19 \\ x + y^2 = 1 \end{cases}$
Maka nilai dari $a + 4b$ yang terbesar adalah . . . .
A. 4
B. 5
C. 10
D. 11
E. 14

$x^2 + y^2 - 2x = 19$

$x + y^2 = 1$
----------------------------- --

$x^2 - 3x = 18$

$x^2 - 3x - 18 = 0$

$(x + 3)(x - 6) = 0$

$x = -3\ atau\ x = 6$

$jika\ x = 6$

$6 + y^2 = 1$

$y^2 = -5$ (tidak memiliki solusi real)

$jika\ x = -3:$

$-3 + y^2 = 1$

$y^2 = 4$

$y = \pm 2$

$a = -3,\ b = -2$

$a + 4b = -3 + 4.(-2) = -11$

$a = -3,\ b = 2$

$a + 4b = -3 + 4.2 = 5$
Dengan demikian nilai terbesar dari

$a + 4b$ adalah 5.
jawab: B

Himpunan $(x,\ y)$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan
$\begin{cases}x^2 + y^2 = 6 \\ \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{y^2}{8} = 3\end{cases}$
Jumlah dari semua nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi adalah . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 2$

$x^2 + y^2 = 6 → y^2 = 6 - x^2$

$\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{y^2}{8} = 3$

$\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{6 - x^2}{8} = 3$

$\dfrac12x^2 - \dfrac18x^2 + \dfrac34 = 3$

$\dfrac38x^2 - \dfrac94 = 0$

$3x^2 - 18 = 0$

$x^2 = 6$

$x = \pm \sqrt{6}$

$x_1 + x_2 = 0$

$x^2 + y^2 = 6$

$6 + y^2 = 6$

$y^2 = 0$

$y_1 = 0;\ y_2 = 0$

$x_1 + x_2 + y_1 + y_2 = 0$
jawab: C.

Jika $\alpha$ dan $\beta$ menyatakan akar-akar persamaan $3^{2x} - 36.3^x + 243 = 0$ , maka $|\alpha - \beta| = \cdots$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

$3^{2x} - 36.3^x + 243 = 0$

$(3^x)^2 - 36.3^x + 243 = 0$

$(3^x - 9)(3^x - 27) = 0$

$3^x = 9\ atau\ 3^x = 27$

$\alpha = 2$

$\beta = 3$

$|2 - 3| = 1$
jawab: A

Jika $x$ memenuhi persamaan $3^{x + 2} - 3^x = 32$ , maka nilai $\dfrac{45^x}{5^{x - 1}} = \cdots$
A. 9
B. 20
C. 45
D. 60
E. 80

$3^{x + 2} - 3^x = 32$

$3^2.3^x - 3^x = 32$

$9.3^x - 3^x = 32$

$8.3^x = 32$

$3^x = 4$

$\dfrac{45^x}{5^{x - 1}} = 5^{1 - x}.(5.9)^x$

$= 5.5^{-x}.5^x.\left(3^2\right)^x$

$= 5.5^0.\left(3^x\right)^2$

$= 5.1.4^2$

$= 80$
jawab: E

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}4^x + 5^y = 6 \\ 4^{x/y} = 5 \end{cases}$
nilai $\dfrac 1x + \dfrac 1y = \cdots$
$A.\ ^3log\ 4$
$B.\ ^3log\ 20$
$C.\ ^3log\ 5$
$D.\ ^3log\ 25$
$E.\ ^3log\ 6$

$4^{x/y} = 5$

$\left(4^{x/y}\right)^y = 5^y$

$4^x = 5^y$

$4^x + 5^y = 6$

$4^x + 4^x = 6$

$2.4^x = 6$

$4^x = 3 → x =\ ^4log\ 3$

$4^x = 5^y$

$3 = 5^y → y =\ ^5log\ 3$

$\dfrac 1x + \dfrac 1y = \dfrac{1}{^4log\ 3} + \dfrac{1}{^5log\ 3}$

$=\ ^3log\ 4 +\ ^3log\ 5$

$=\ ^3log\ 20$
jawab: B

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}y = -mx + c \\ y = (x + 4)^2 \end{cases}$
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $m$ adalah . . . .
$A.\ -32$
$B.\ -20$
$C.\ -16$
$D.\ -8$
$E.\ -4$

Sistem persamaan memiliki tepat satu penyelesaian, berari garis

$y = -mx + c$ hanya bersinggungan dengan kurva parabola dengan persamaan

$y = (x + 4)^2$ .

$(x + 4)^2 = -mx + c$

$x^2 + 8x + 16 = -mx + c$

$x^2 + 8x + mx + 16 - c = 0$

$x^2 + (8 + m)x + 16 - c = 0$
Karena bersinggungan, maka

$D = 0$ .

$b^2 - 4ac = 0$

$(8 + m)^2 - 4.1.(16 - c) = 0$

$m^2 + 16m + 64 - 64 + 4c = 0$

$m^2 + 16m + 4c = 0$

$m_1 + m_2 = -\dfrac{16}{1} = -16$
jawab: C.

Garis $y = 2x + 1$ tidak memotong maupun menyinggung hiperbola $\dfrac{(x - 2)^2}{2} - \dfrac{(y - a)^2}{4} = 1$ , interval nilai $a$ yang memenuhi adalah . . . .
$A.\ -7 < a < 3$
$B.\ -3 < a < 7$
$C.\ a < 3\ atau\ a > 7$
$D.\ a < -7\ atau\ a > 3$
$E.\ 3 < a < 7$

$\dfrac{(x - 2)^2}{2} - \dfrac{(y - a)^2}{4} = 1$

$\dfrac{(x - 2)^2}{2} - \dfrac{(2x + 1 - a)^2}{4} = 1$
Misalkan

$1 - a = p$

$\dfrac{(x - 2)^2}{2} - \dfrac{(2x + p)^2}{4} = 1$

$\dfrac{(x^2 - 4x + 4)}{2} - \dfrac{(4x^2 + 4px + p^2)}{4} = 1$

$2x^2 - 8x + 8 - (4x^2 + 4px + p^2) = 4$

$-2x^2 - 8x - 4px + 4 - p^2 = 0$

$-2x^2 - (8 + 4p)x + 4 - p^2 = 0$

$2x^2 + (8 + 4p)x + p^2 - 4 = 0$

$D < 0$

$b^2 - 4ac < 0$

$(8 + 4p)^2 - 4.2.(p^2 - 4) < 0$

$64 + 64p + 16p^2 - 8p^2 + 32 < 0$

$8p^2 + 64p + 96 < 0$

$p^2 + 8p + 12 < 0$

$(p + 6)(p + 2) < 0$

$-6 < p < -2$

$-6 < 1 - a < -2$

$-7 < -a < -3$

$3 < a < 7$
jawab: E

Jika garis $y = mx$ tidak berpotongan dengan hiperbola $3x^2 - 4y^2 = 12$ , maka nilai $m$ adalah . . . .
$A.\ |m| > \sqrt{\dfrac23}$
$B.\ |m| > \dfrac{1}{2\sqrt{3}}$
$C.\ |m| < \sqrt{\dfrac32}$
$D.\ |m| > \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$E.\ |m| < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$3x^2 - 4y^2 = 12$

$3x^2 - 4.(mx)^2 - 12 = 0$

$3x^2 - 4m^2x^2 - 12 = 0$

$(3 - 4m^2)x^2 - 12 = 0$
Dari opsi, garis dan parabola saling berjauhan (tidak bersinggungan)

$D < 0$

$b^2 - 4ac < 0$

$0 - 4.(3 - 4m^2).(-12) < 0$

$48(3 - 4m^2) < 0$

$3 - 4m^2 < 0$

$4m^2 - 3 > 0$

$m^2 - \dfrac34 > 0$

$\left(m + \dfrac12\sqrt{3}\right)\left(x - \dfrac12\sqrt{3}\right) > 0$

$m < -\dfrac12\sqrt{3}$ atau

$m > \dfrac12\sqrt{3}$

$\Bigr|m\Bigr| > \dfrac12\sqrt{3}$
jawab: B

$jika\ |x| > a$ maka

$x < -a\ atau\ x > a$

Jika garis $y = 2x - 3$ menyinggung parabola $y = 4x^2 + ax + b$ di titik $(-1,\ -5)$ serta $a$ dan $b$ adalah konstanta, maka $a + b =$ . . . .
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
E. 12

Gradien garis singgung:

$m = 2$ . . . . (*)

$m = y' = 8x + a$

$= 8.(-1) + a$

$= -8 + a$ . . . . (**)
dari (*) dan (**)

$2 = -8 + a$

$a = 10$

$y = 4x^2 + 10x + b$
Substitusikan titik

$(-1,\ -5)$

$-5 = 4.(-1)^2 + 10.(-1) + b$

$-5 = 4 - 10 + b$

$b = 1$

$a + b = 10 + 1 = 11$
jawab: D

Jarak terdekat titik pada kurva $y = \dfrac12x^2 + 1$ ke garis $2x - y = 4$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac{3}{\sqrt{5}}$
$B.\ \dfrac{4}{\sqrt{5}}$
$C.\ \sqrt{5}$
$D.\ \dfrac{6}{\sqrt{5}}$
$E.\ \dfrac{7}{\sqrt{5}}$

Cari titik singgung atau persamaan garis singgung, kemudian hitung jaraknya ke garis

$2x - y - 4 = 0$
Gradien garis singgung:

$m = 2$ . . . . (*)

$m = y' = x$ . . . . (**)
dari (*) dan (**)

$x = 2$

$y = \dfrac12.2^2 + 1 = 3$

$titik\ singgung = (2,\ 3)$

$d = \left|\dfrac{2.2 - 3 - 4}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}\right|$

$= \left|\dfrac{-3}{\sqrt{5}}\right|$

$= \dfrac{3}{\sqrt{5}}$
jawab: A

Misalkan $l_1$ menyatakan garis singgung kurva $y = x^2 + 1$ dititik $(2,\ 5)$ dan $l_2$ menyatakan garis singgung kurva $y = 1 - x^2$ yang sejajar dengan garis $l_1$ . Jarak $l_1$ dan $l_2$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac{2}{\sqrt{17}}$
$B.\ \dfrac{4}{\sqrt{17}}$
$C.\ \dfrac{6}{\sqrt{17}}$
$D.\ \dfrac{8}{\sqrt{17}}$
$E.\ \dfrac{10}{\sqrt{17}}$

Cari persamaan garis

$l_1\ dan\ l_2$ kemudian hitung jaraknya.
Persamaan garis

$l_1$ :

$y = x^2 + 1$

$m = y' = 2x = 2.2 = 4$

$y - 5 = 4(x - 2)$

$y - 5 = 4x - 8$

$4x - y - 3 = 0$

Persamaan garis

$l_2$ //

$l_1$ :

$m = 4$ . . . . (*)

$m = y' = -2x$ . . . . (**)
dari (*) dan (**)

$4 = -2x$

$x = -2$

$y = 1 - (-2)^2 = -3$

$titik\ singgung = (-2,\ -3)$

$y - (-3) = 4(x - (-2))$

$y + 3 = 4x + 8$

$4x - y + 5 = 0$

Jarak antara dua garis sejajar:

$d = \left|\dfrac{C_2 - C_1}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$

$d = \left|\dfrac{5 - (-3)}{\sqrt{4^2 + 1^2}} \right|$

$= \left|\dfrac{8}{\sqrt{17}} \right|$

$= \dfrac{8}{\sqrt{17}}$
jawab: C

Diberikan fungsi $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 6x + 5$ . Garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik dengan absis $x = a$ dan $x = a + 1$ saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah . . . .
$A.\ \dfrac{5}{\sqrt{37}}$
$B.\ \dfrac{4}{\sqrt{37}}$
$C.\ \dfrac{3}{\sqrt{37}}$
$D.\ \dfrac{2}{\sqrt{37}}$
$E.\ \dfrac{1}{\sqrt{37}}$

$f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 6x + 5$

$m = f'(x) = 6x^2 + 6x + 6$

$= 6(x^2 + x + 1)$

$m_1 = 6(a^2 + a + 1)$

$m_2 = 6((a + 1)^2 + (a + 1) + 1)$

$= 6(a^2 + 2a + 1 + a + 1 + 1)$

$= 6(a^2 + 3a + 3)$
Kedua garis saling sejajar sehingga

$m_1 = m_2$

$6(a^2 + a + 1) = 6(a^2 + 3a + 3)$

$-2 = 2a$

$a = -1$

Persamaan garis 1:

$m_1 = 6(a^2 + a + 1)$

$= 6((-1)^2 + (-1) + 1)$

$= 6$
Titik singgung:

$x = a = -1$

$y = 2.(-1)^3 + 3.(-1)^2 + 6.(-1) + 5$

$= -2 + 3 - 6 + 5$

$= 0$

$titik\ singgung = (-1,\ 0)$

$y - 0 = 6(x - (-1))$

$y = 6x + 6$

$6x - y + 6 = 0$

Persamaan garis 2:

$m = 6 → //$ garis 1.

$x = a + 1 = -1 + 1 = 0$

$y = 2.0^3 + 3.0^2 + 6.0 + 5 = 5$

$titik\ singgung = (0,\ 5)$

$y - 5 = 6(x - 0)$

$y - 5 = 6x$

$6x - y + 5 = 0$

Jarak dua garis sejajar:

$d = \left|\dfrac{C_2 - C_1}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$

$d = \left|\dfrac{5 - 6}{\sqrt{6^2 + (-1)^2}} \right|$

$= \left|\dfrac{-1}{\sqrt{37}} \right|$

$= \dfrac{1}{\sqrt{37}}$
jawab: E

Diketahui matriks $B = \begin{pmatrix}2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ dan $C = \begin{pmatrix}-7 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ . Jika matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan memenuhi persamaan $A^3 + B = C$ , maka determinan matriks $3A^{-1} =$ . . . .
$A.\ 3$
$B.\ 1$
$C.\ -1$
$D.\ -2$
$E.\ -3$

$A^3 + B = C$

$A^3 = C - B$

$A^3 = \begin{pmatrix}-7 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix}-9 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

$|A| = -18 - 9 = -27$

$\Bigr|A^3\Bigr| = |A|^3 = -27$

$|A| = -3$

$\Bigr|3A^{-1}\Bigr| = 3^2.\dfrac{1}{|A|}$

$= 9.\dfrac{1}{-3}$

$= -3$
jawab: E

$\bullet$ Jika

$A$ merupakan matriks berordo

$m \times m$ , maka

$|nA| = n^m.|A|$

$\bullet$

$\Bigr|A^{-1}\Bigr| = \dfrac{1}{|A|}$

Diketahui matriks $A$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $B = \begin{pmatrix}-2 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ dan $C = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ . Jika $AB = C$ , maka determinan dari $(2A^{-1})$ adalah . . . .
$A.\ 4$
$B.\ 2$
$C.\ 1$
$D.\ -2$
$E.\ -4$

$AB = C$

$|AB| = |C|$

$|A|.|B| = |C|$

$|A|.(-6 + 5) = 10 - 12$

$-|A| = -2$

$|A| = 2$

$\Bigr|2A^{-1}\Bigr| = 2^2.\dfrac{1}{|A|} = 4.\dfrac12 = 2$
jawab: B.

Diketahui $B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B + C = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ . Jika $A$ adalah matriks berukuran $2 \times 2$ sehingga $AB + AC = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ , maka determinan dari $AB$ adalah . . . .
$A.\ 4$
$B.\ 2$
$C.\ 1$
$D.\ -1$
$E.\ -2$

$AB + AC = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

$A(B + C) = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

$|A(B + C)| = \begin{vmatrix}4 & 2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}$

$|A|.|(B + C)| = \begin{vmatrix}4 & 2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}$

$|A|.(2 + 3) = 4 + 6$

$|A|.5 = 10$

$|A| = 2$

$|AB| = |A|.|B| = 2.(2 - 0) = 4$
jawab: A

Diketahui matriks $B = \begin{pmatrix}1 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ dan berlaku $A^2 + B = \begin{pmatrix}3 & -2 \\4 & -1 \end{pmatrix}$ . Determinan matriks $A^4$ adalah . . . .
A. 1
B. 2
C. 4
D. 16
E. 81

$A^2 + B = \begin{pmatrix}3 & -2 \\4 & -1 \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix}3 & -2 \\4 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix}2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$|A^2| = 2 + 2 = 4$

$|A^4| = \left(|A^2|\right)^2 = 4^2 = 16$
jawab: D

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}x = sin\ \alpha + \sqrt{3}sin\ \beta \\ y = cos\ \alpha + \sqrt{3}cos\ \beta \end{cases}$
Nilai maksimum dari $x^2 + y^2$ adalah $a + b\sqrt{3}$ . Nilai $a + b =$ . . . .
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8

$x^2 = (sin\ \alpha + \sqrt{3}sin\ \beta)^2$

$y^2 = (cos\ \alpha + \sqrt{3}cos\ \beta)^2$

$x^2 = sin^2\ \alpha + 2\sqrt{3}sin\ \alpha sin\ \beta + 3sin^2\ \beta$

$y^2 = cos^2\ \alpha + 2\sqrt{3}cos\ \alpha cos\ \beta + 3cos^2\ \beta$
----------------------------------------------------------------- +

$x^2 + y^2 = 1 + 2\sqrt{3}cos\ (\alpha - \beta) + 3$

$x^2 + y^2 = 2\sqrt{3}cos\ (\alpha - \beta) + 4$

$(x^2 + y^2)_{maks} = 4 + \Bigr|2\sqrt{3}\Bigr|$

$(x^2 + y^2)_{maks} = 4 + 2\sqrt{3}$

$a = 4,\ b = 2 → a + b = 6$
jawab: C

$sin^2\ x + cos^2\ x = 1$

$cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}x = cos A - 2sin B \\ y = sin A - 2cos B \end{cases}$
Nilai minimum dari $x^2 + y^2 =$ . . . .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
E. 7

$x^2 = (cos\ A - 2sin\ B)^2$

$y^2 = (sin\ A - 2cos\ B)^2$

$x^2 = cos^2\ A - 4cos\ Asin\ B + 4sin^2\ B$

$y^2 = sin^2\ A - 4sin\ Acos\ B + 4cos^2\ B$
------------------------------------------------------------ +

$x^2 + y^2 = 1 - 4sin\ (A + B) + 4$

$x^2 + y^2 = -4sin\ (A + B) + 5$

$(x^2 + y^2)_{min} = -|-4| + 5 = 1$
jawab: A

$sin\ (A + B) = sin\ Acos\ B + cos\ Asin\ B$

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}sin\ (x + y) = 1 + \dfrac15cos\ y \\ sin\ (x - y) = -1 + cos\ y \end{cases}$
Dengan $0 < y < \dfrac{\pi}{2}$ . Nilai $sin\ x =$ . . . .
$A.\ \dfrac25$
$B.\ \dfrac35$
$C.\ \dfrac45$
$D.\ 1$
$E.\ \dfrac65$

$sin(x + y) = 1 + \dfrac15cos\ y$

$sin(x - y) = -1 + cos\ y$
--------------------------------------- +

$sin(x + y) + sin(x - y) = \dfrac65cos\ y$

$2sin\dfrac12(x + y + x - y)cos\dfrac12(x + y - (x - y))$

$= \dfrac65cos\ y$

$2sin\ xcos\ y = \dfrac65cos\ y$

$2sin\ x = \dfrac65$

$sin\ x = \dfrac{6}{10} = \dfrac35$
jawab: B

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}cos\ 2x + cos 2y = \dfrac25 \\ sin\ x = 2sin\ y\end{cases}$
Untuk $x > 0$ dan $y > \pi$ . Nilai $3sin\ x - 5sin\ y =$ . . . .
$A.\ -\dfrac35$
$B.\ -\dfrac25$
$C.\ 0$
$D.\ \dfrac25$
$E.\ \dfrac35$

$cos\ 2x + cos\ 2y = \dfrac25$

$1 - 2sin^2\ x + 1 - 2sin^2\ y = \dfrac25$

$-2(2sin\ y)^2 - 2sin^2\ y = -2 + \dfrac25$

$-2.4sin^2\ y - 2sin^2\ y = -\dfrac85$

$10sin^2\ y = \dfrac85$

$sin^2\ y = \dfrac{4}{25}$

$sin\ y = \pm \dfrac25$
Karena

$y > \pi$ maka

$sin\ y$ harus bernilai negatif (kw III atau kw IV).

$sin\ y = -\dfrac25$

$sin\ x = 2sin\ y = -\dfrac45$

$3sin\ x - 5sin\ y = 3.\left(-\dfrac45\right) - 5.\left(-\dfrac25\right)$

$= -\dfrac{12}{5} + \dfrac{10}{5}$

$= -\dfrac25$
jawab: B

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}cos(a - b) = \dfrac45sin(a + b) \\ sin\ 2a + sin\ 2b = \dfrac{9}{10} \end{cases}$
Nilai dari $sin(a + b) =$ . . . .
$A.\ \dfrac57$
$B.\ \dfrac{7}{10}$
$C.\ \dfrac25$
$D.\ \dfrac34$
$E.\ \dfrac35$

$sin\ 2a + sin\ 2b = \dfrac{9}{10}$

$2sin\dfrac12(2a + 2b)cos\dfrac12(2a - 2b) = \dfrac{9}{10}$

$2sin(a + b)cos(a - b) = \dfrac{9}{10}$

$2sin(a + b).\dfrac45sin(a + b) = \dfrac{9}{10}$

$\dfrac85sin^2(a + b) = \dfrac{9}{10}$

$sin^2(a + b) = \dfrac{9}{16}$

$sin(a + b) = \pm \dfrac34$
jawab: D

Jika $(x,\ y)$ dengan $0 < y < \dfrac{\pi}{2}$ , merupakan penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases}cos\ 2x + cos\ 2y = -\dfrac25 \\ cos\ y = 2cos\ x \end{cases}$
Maka $cos\ x + cos\ y =$ . . . .
$A.\ -\dfrac65$
$B.\ -\dfrac35$
$C.\ 0$
$D.\ \dfrac35$
$E.\ \dfrac65$

$cos\ 2x + cos\ 2y = -\dfrac25$

$2cos^2x - 1 + 2cos^2y - 1 = -\dfrac25$

$2cos^2x + 2(2cos\ x)^2 = 2 - \dfrac25$

$2cos^2x + 8cos^2x = \dfrac85$

$10cos^2x = \dfrac85$

$cos^2x = \dfrac{4}{25}$

$cos\ x = \pm \dfrac25$
Karena

$0 < y < \dfrac{\pi}{2}$ , maka

$cos\ y$ harus bernilai positif.
Dengan demikian

$cos\ x = \dfrac25$

$cos\ y = 2.cos\ x = 2.\dfrac25 = \dfrac45$

$cos\ x + cos\ y = \dfrac25 + \dfrac45 = \dfrac65$
jawab: E

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}a = sin\ x + cos\ y \\b = cos\ x - sin\ y \end{cases}$
Nilai minimum dari $2a^2 + 2b^2 + 2$ adalah . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 4$
$C.\ 6$
$D.\ 8$
$E.\ 12$

$a = sin\ x + cos\ y$

$b = cos\ x - sin\ y$

$a^2 = sin^2\ x + 2sin\ xcos\ y + cos^2\ y$

$b^2 = cos^2\ x - 2cos\ xsin\ y + sin^2\ y$
---------------------------------------------------- +

$a^2 + b^2 = 1 + 2sin(x - y) + 1$

$a^2 + b^2 = 2sin(x - y) + 2$

$(a^2 + b^2)_{min} = -|2| + 2 = 0$

$\begin{align} (2a^2 + 2b^2 + 2)_{min} &= 2(a^2 + b^2)_{min} + 2\\ &= 2.0 + 2\\ &= 2 \end{align}$
jawab: A

Diketahui $g(x) = x^3 + px^2 + qx + 10$ dan $h(x) = x^2 - 3x + 2$ merupakan faktor dari $g(x)$ . Nilai dari $5p + q$ adalah . . . .
$A.\ 2$
$B.\ -13$
$C.\ 13$
$D.\ -3$
$E.\ 3$

$x^2 - 3x + 2$ adalah faktor dari

$g(x)$ dan misalkan faktor yang lainnya adalah

$x + 5$ , karena

$x^3 = x^2.x$ dan

$10 = 5.2$ , maka:

$x^3 + px^2 + qx + 10$

$= (x + 5)(x^2 - 3x + 2)$

$= x^3 - 3x^2 + 2x + 5x^2 - 15x + 10$

$= x^3 + 2x^2 - 13x + 10$

$p = 2 → q = -13$

$5p + q = 5.2 - 13 = -3$
jawab: D

Jika $p(x) = ax^3 + bx^2 + 2x - 3$ habis dibagi $x^2 + 1$ , maka nilai $3a - b$ adalah . . . .
$A.\ -9$
$B.\ -3$
$C.\ 3$
$D.\ 9$
$E.\ 12$

$p(x)$ habis dibagi

$x^2 + 1$ maka

$x^2 + 1$ adalah salah satu faktor, dan misalkan faktor yang lain adalah

$ax - 3$ , karena

$ax^3 = ax.x^2$ dan

$-3 = -3.1$ .

$ax^3 + bx^2 + 2x - 3$

$= (ax - 3)(x^2 + 1)$

$= ax^3 + ax - 3x^2 - 3$

$= ax^3 - 3x^2 + ax - 3$

$a = 2,\ b = -3$

$3a - b = 3.2 - (-3) = 9$
jawab: D

Suku banyak $Q(x) = ax^3 - bx^2 + (a - 2b)x + a$ habis dibagi $(x^2 + 2)$ dan $(x - b)$ . Nilai $2ab =$ . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 2$

$Q(x)$ habis dibagi oleh

$(x^2 + 2)$ dan

$(x - b)$ , berarti

$(x^2 + 2)$ dan

$(x - b)$ adalah faktor dari

$Q(x)$ , maka:

$ax^3 - bx^2 + (a - 2b)x + a$

$= (x^2 + 2)(x - b)$

$= x^3 - bx^2 + 2x - 2b$

$a = 1$

$a = -2b → b = -\dfrac12a = -\dfrac12$

$2ab = 2.1.\left(-\dfrac12\right) = -1$
jawab: B

Suku banyak $f(x) = ax^3 - ax^2 + bx - a$ habis dibagi $x^2 + 1$ dan apabila dibagi oleh $x - 4$ bersisa $51$ . Nilai $a + b$ adalah . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 2$

$x^2 + 1$ merupakan faktor dari

$f(x)$ , misalkan faktor yang lain adalah

$ax - a$ , maka:

$ax^3 - ax^2 + bx - a$

$= (ax - a)(x^2 + 1)$

$= ax^3 - ax^2 + ax - a$

$a = b$

$f(4) = 51$

$a.4^3 - a.4^2 + a.4 - a = 51$

$64a - 16a + 4a - a = 51$

$51a = 51$

$a = 1$

$b = a = 1$

$a + b = 1 + 1 = 2$
jawab: E

Suku banyak $P(x) = x^3 + bx^2 - 2x - 6$ dibagi $(x - 2)^2$ bersisa $-2x + a$ . Nilai $a + b$ adalah . . . .
$A.\ 15$
$B.\ 13$
$C.\ 0$
$D.\ -13$
$E.\ -5$

$x^3 + bx^2 - 2x - 6$

$= (x - 2)^2.H(x) - 2x + a$
Misalkan

$H(x) = (x + c)$

$x^3 + bx^2 - 2x - 6$

$= (x - 2)^2(x + c) - 2x + a$

$= (x^2 - 4x + 4)(x + c) - 2x + a$

$= x^3 + (c - 4)x^2 + (2 - 4c)x + 4c + a$

$2 - 4c = -2 → c = 1$

$4c + a = -6 → a = -10$

$b = c - 4 → b = -3$

$a + b = -10 - 3 = -13$
jawab: D

Jika suku banyak $P(x) = ax^3 + x^2 + bx + 1$ habis dibagi $x^2 + 1$ dan $x + a$ , maka nilai $ab$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac14$
$B.\ \dfrac12$
$C.\ 1$
$D.\ 2$
$E.\ 4$

$(x^2 + 1)$ dan

$(x + a)$ adalah faktor dari

$P(x)$ , sehingga:

$ax^3 + x^2 + bx + 1 = (x^2 + 1)(x + a)$

$= x^3 + ax^2 + x + a$

$a = 1,\ b = 1$

$ab = 1.1 = 1$
jawab: C

Diketahui $P(x) = (x + 1)(x^2 + x - 2)q(x) + (ax + b)$ dengan $q(x)$ adalah suatu suku banyak. Jika $P(x)$ dibagi $(x + 1)$ bersisa 10 dan dibagi $(x - 1)$ bersisa 20, maka sisa pembagian $P(x)$ oleh $(x + 2)$ adalah . . . .
$A.\ 5$
$B.\ 10$
$C.\ 15$
$D.\ 20$
$E.\ 25$

$P(x) = (x + 1)(x^2 + x - 2)q(x) + (ax + b)$

$P(x) = (x + 1)(x - 1)(x + 2)q(x) + (ax + b)$

$P(-1)= -a + b = 10$

$P(1) = a + b = 20$
-------------------------------- +

$2b = 30 → b = 15$

$a = 5$

$\begin{align} P(-2) &= -2a + b\\ &= -2.5 + 15\\ &= 5\\ \end{align}$
jawab: A

Diketahui fungsi $f(x)$ adalah fungsi genap, jika nilai $\displaystyle \int_{-5}^5(f(x) + 3x^2)dx = 260$ dan $\displaystyle \int_2^4 f(x)dx = 2$ maka nilai $\displaystyle \int_0^2 f(x)dx + \displaystyle \int_4^5 f(x)dx = \cdots$
$A.\ -7$
$B.\ -3$
$C.\ 0$
$D.\ 3$
$E.\ 7$

$\bullet$ Fungsi genap adalah fungsi yang simetris terhadap sumbu Y dimana

$f(x) = f(-x)$ , contohnya

$y = ax^2$ . Jika

$f(x)$ adalah fungsi genap maka

$\displaystyle \int_{-a}^a f(x) dx = \displaystyle 2\int_0^a f(x)dx$ . Dalam hal ini

$y = f(x)$ dan

$y = 3x^2$ adalah fungsi genap.

$\bullet$

$\displaystyle \int_a^cf(x)dx = \displaystyle \int_a^bf(x)dx + \displaystyle \int_b^cf(x)dx$

Dengan demikian:

$\displaystyle \int_{-5}^5(f(x) + 3x^2)dx = 260$

$\displaystyle 2\int_0^5(f(x) + 3x^2)dx = 260$

$\displaystyle \int_0^5(f(x) + 3x^2)dx = 130$

$\displaystyle \int_0^5 f(x)dx + \displaystyle \int_0^5 3x^2dx = 130$

$\displaystyle \int_0^5 f(x)dx + x^3\Bigr|_0^5 = 130$

$\displaystyle \int_0^5 f(x)dx + 5^3 - 0^3 = 130$

$\displaystyle \int_0^5 f(x)dx + 125 = 130$

$\displaystyle \int_0^5 f(x)dx = 5$

$\displaystyle \int_0^2 f(x)dx + \displaystyle \int_2^4 f(x)dx + \displaystyle \int_4^5 f(x)dx = 5$

$\displaystyle \int_0^2 f(x)dx + 2 + \displaystyle \int_4^5 f(x)dx = 5$

$\displaystyle \int_0^2 f(x)dx + \displaystyle \int_4^5 f(x)dx = 3$
jawab: D

Jika nilai $\displaystyle \int_b^a f(x)dx = 5$ dan $\displaystyle \int_c^a f(x)dx = 0$ , maka $\displaystyle \int_c^b f(x)dx = \cdots$
$A.\ -5$
$B.\ -3$
$C.\ 0$
$D.\ 4$
$E.\ 6$

$\bullet$

$\displaystyle \int_a^cf(x)dx = \displaystyle \int_a^bf(x)dx + \displaystyle \int_b^cf(x)dx$

$\bullet$

$\displaystyle \int_a^bf(x)dx = \displaystyle -\int_b^af(x)dx$

Dengan demikian:

$\displaystyle \int_b^a f(x)dx = 5 → \displaystyle \int_a^b f(x)dx = -5$

$\displaystyle \int_c^a f(x)dx = 0 → \displaystyle \int_a^c f(x)dx = 0$

$\displaystyle \int_a^c f(x)dx = \displaystyle \int_a^b f(x)dx + \displaystyle \int_b^c f(x)dx$

$0 = -5 + \displaystyle \int_b^c f(x)dx$

$\displaystyle \int_b^c f(x)dx = 5$

$\displaystyle \int_c^b f(x)dx = -5$
jawab: A

Fungsi $f(x)$ memenuhi $f(x) = f(-x)$ . Jika nilai $\displaystyle \int_{-3}^3 f(x)dx = 6$ , $\displaystyle \int_{2}^3 f(x)dx = 1$ , maka nilai $\displaystyle \int_{0}^2 f(x)dx = \cdots$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

$\bullet$ Jika

$f(x) = f(-x)$ maka fungsi tersebut adalah fungsi genap dan simetris terhadap sumbu Y. Jika

$f(x)$ adalah fungsi genap maka

$\displaystyle \int_{-a}^a f(x) dx = \displaystyle 2\int_0^a f(x)dx$ .

$\bullet$

$\displaystyle \int_a^cf(x)dx = \displaystyle \int_a^bf(x)dx + \displaystyle \int_b^cf(x)dx$

Dengan demikian:

$\displaystyle \int_{-3}^3 f(x)dx = 6$

$\displaystyle 2\int_{0}^3 f(x)dx = 6$

$\displaystyle \int_{0}^3 f(x)dx = 3$

$\displaystyle \int_{0}^3 f(x)dx = \displaystyle \int_{0}^2 f(x)dx + \displaystyle \int_{2}^3 f(x)dx$

$3 = \displaystyle \int_{0}^2 f(x)dx + 1$

$\displaystyle \int_{0}^2 f(x)dx = 2$
jawab: B

Misalkan fungsi

$f$ memenuhi

$f(x + 5) = f(x)$ untuk setiap

$x \in R$ . Jika

$\displaystyle \int_1^5 f(x)dx = 3$ dan

$\displaystyle \int_{-5}^{-4} f(x)dx = -2$ maka nilai

$\displaystyle \int_5^{15} f(x)dx = \cdots$

Jika

$f(x) = f(x + c)$ maka

$f(x)$ adalah fungsi periodik dengan periode

$c$ , sehingga berlaku:

$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = \displaystyle \int_{a + c}^{b + c}f(x)dx = \displaystyle \int_{a + 2c}^{b + 2c}f(x)dx = \cdots$

$f(x) = f(x + 5)$ , Berarti

$f(x)$ adalah fungsi periodik dengan periode 5.
Dengan demikian:

$\displaystyle \int_1^5 f(x)dx$

$= \displaystyle \int_6^{10} f(x)dx$

$= \displaystyle \int_{11}^{15} f(x)dx = 3$

$\displaystyle \int_{-5}^{-4} f(x)dx$

$= \displaystyle \int_0^{1} f(x)dx$

$= \displaystyle \int_5^6 f(x)dx$

$= \displaystyle \int_{10}^{11} f(x)dx = -2$

$\displaystyle \int_5^{15} f(x)dx = \displaystyle \int_5^6 f(x)dx$

$+ \displaystyle \int_6^{10} f(x)dx + \displaystyle \int_{10}^{11} f(x)dx + \displaystyle \int_{11}^{15} f(x)dx$

$= -2 + 3 -2 + 3$

$= 2$
jawab: D

Diketahui

$f(x)$ merupakan fungsi genap, jika

$\displaystyle \int_{-4}^{4} f(x)dx = 16$ ,

$\displaystyle \int_{3}^{4} f(2x - 2)dx = 11$ dan

$\displaystyle \int_{-5}^{-1} f(1 - x)dx = 6$ , maka

$\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx = \cdots$
A. 22
B. 23
C. 24
D. 25
E. 26

$\bullet$ Jika

$f(x)$ adalah fungsi genap maka

$\displaystyle \int_{-a}^a f(x) dx = \displaystyle 2\int_0^a f(x)dx$ .

$\bullet$

$\displaystyle \int_a^cf(x)dx = \displaystyle \int_a^bf(x)dx + \displaystyle \int_b^cf(x)dx$

$\displaystyle \int_{-4}^{4} f(x)dx = 16$

$\displaystyle 2\int_{0}^{4} f(x)dx = 16$

$\displaystyle \int_{0}^{4} f(x)dx = 8$

$\displaystyle \int_{3}^{4} f(2x - 2)dx = 11$
Misalkan:

$u = 2x - 2$

$\dfrac{du}{dx} = 2$

$\dfrac12du = dx$

$x = 3 → u = 4;\ x = 4 → u = 6$

$\displaystyle \int_{3}^{4} f(2x - 2)dx = 11$

$\displaystyle \dfrac12\int_{4}^{6} f(u)du = 11$

$\displaystyle \int_{4}^{6} f(u)du = 22$

$\displaystyle \int_{4}^{6} f(x)dx = 22$

$\displaystyle \int_{-5}^{-1} f(1 - x)dx = 6$
Misalkan:

$u = 1 - x$

$-du = dx$

$x = -1 → u = 2;\ x = -5 → u = 6$

$\displaystyle \int_{-5}^{-1} f(1 - x)dx = 6$

$\displaystyle -\int_{6}^{2} f(u)du = 6$

$\displaystyle \int_{2}^{6} f(u)du = 6$

$\displaystyle \int_{2}^{6} f(x)dx = 6$

$\displaystyle \int_{2}^{6} f(x)dx = \displaystyle \int_{2}^{4} f(x)dx + \displaystyle \int_{4}^{6} f(x)dx$

$6 = \displaystyle \int_{2}^{4} f(x)dx + 22$

$\displaystyle \int_{2}^{4} f(x)dx = -16$

$\displaystyle \int_{0}^{4} f(x)dx = \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx + \displaystyle \int_{2}^{4} f(x)dx$

$8 = \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx - 16$

$\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx = 24$
jawab: C

Parabola

$y = x^2 - 6x + 8$ digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu X dan digeser ke bawah sejauh 3 satuan. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu X di

$x_1$ dan

$x_2$ maka nilai

$x_1 + x_2 =$ . . . .
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
E. 12

Persamaan parabola setelah digeser.

$\begin{align} y &= (x - 2)^2 - 6(x - 2) + 8 - 3\\ &= x^2 - 4x + 4 - 6x + 12 + 5\\ &= x^2 - 10x + 21 \end{align}$
Titik potong sumbu

$x → y = 0$

$x^2 - 10x + 21 = 0$

$x_1 + x_2 = -\dfrac ba = 10$
jawab: C

Garis

$y = 2x + 1$ digeser sejauh

$a$ satuan ke kanan dan sejauh

$b$ satuan ke bawah, kemudian dicerminkan terhadap sumbu X, bayangannya menjadi

$y = ax - b$ . Nilai

$a + b =$ . . . .

$A.\ -\dfrac12$

$B.\ -3$

$C.\ 4$

$D.\ 3$

$E.\ \dfrac12$

Persamaan garis setelah digeser:

$y = 2(x - a) + 1 - b$

$y = 2x + 1 - 2a - b$

Dicerminkan terhadap sumbu X:

$(x,\ y) \xrightarrow[sb\ x]{refleksi} (x',\ y')$

$x' = x$

$y' = -y → y = -y'$

Masukkan

$x = x'$ dan

$y = y'$ ke persamaan garis hasil pergeseran !

$y = 2x + 1 - 2a - b$

$-y' = 2x' + 1 - 2a - b$
Hapus tanda ' !

$-y = 2x + 1 - 2a - b$

$y = -2x + 2a + b - 1$

Kesamaan dengan

$y = ax - b$ !

$a = -2$

$2a + b - 1 = -b$

$2b = 1 - 2a$

$2b = 1 - 2.(-2)$

$2b = 5 → b = \dfrac52$

$a + b = -2 + \dfrac52 = \dfrac12$
jawab: E

Jika garis

$y = ax + b$ digeser ke atas sejauh 2 satuan kemudian dicerminkan terhadap sumbu X, maka bayangannya adalah garis

$y = -2x + 1$ . Nilai

$3a - 2b$ adalah . . . .

$A.\ -8$

$B.\ -4$

$C.\ -1$

$D.\ 8$

$E.\ 12$

Persamaan garis hasil pergeseran:

$y = ax + b + 2$

Dicerminkan terhadap sumbu X:

$x' = x$

$y' = -y → y = -y'$

Masukkan

$x = x'$ dan

$y = -y'$ ke dalam persamaan garis hasil pergeseran !

$y = ax + b + 2$

$-y' = ax' + b + 2$
Hilangkan tanda ' !

$-y = ax + b + 2$

$y = -ax - b - 2$

Kesamaan dengan

$y = -2x + 1$

$a = 2$

$-b - 2 = 1 → b = -3$

$3a - 2b = 3.2 - 2.(-3) = 12$
jawab: E

Garis

$y = 2x + 1$ dirotasi searah jarum jam sebesar

$90^o$ terhadap titik asal, kemudian digeser sejauh

$b$ satuan ke atas dan

$a$ satuan ke kiri, bayangan menjadi

$x - ay = b$ . Nilai

$a + b$ adalah . . . .

$A.\ 5$

$B.\ 2$

$C.\ 0$

$D.\ -2$

$E.\ -5$

Rotasi sejauh

$90^o$ searah jarum jam dengan pusat rotasi

$O(0,0)$ :

$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\ \alpha & -sin\ \alpha \\ sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\ (-90^o) & -sin\ (-90^o) \\ sin\ (-90^o) & cos\ (90^o) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y \\ -x\end{pmatrix}$

$x' = y$

$y' = -x → x = -y'$

Persamaan garis akibat rotasi:

$y = 2x + 1$

$x' = -2y' + 1$

$x = -2y + 1$

$x + 2y = 1$

Hasil rotasi digeser sejau

$b$ ke atas dan sejauh

$a$ ke kiri:

$x' = x - a → x = x' + a$

$y' = y + b → y = y' - b$
Masukkan ke dalam persamaan garis hasil rotasi !

$x' + a + 2(y' - b) = 1$

$x + a + 2y - 2b = 1$

$x + 2y = 1 + 2b - a$
Kesamaan dengan

$x - ay = b$

$a = -2$

$1 + 2b - a = b$

$b = a - 1$

$b = -2 - 1 = -3$

$a + b = -2 - 3 = -5$
jawab: E

Diketahui titik

$P(4,\ a)$ dan lingkaran

$L \equiv x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$ . Jika titik P berada di dalam lingkaran

$L$ , maka nilai

$a$ yang mungkin adalah . . . .

$A.\ -1 < a < 3$

$B.\ -3 < a < 1$

$C.\ 3 < a < 5$

$D.\ 1 < a < 3$

$E.\ -3 < a < 5$

Karena titik

$P(4,\ a)$ berada di dalam lingkaran, maka:

$4^2 + a^2 - 8.4 - 2.a + 1 < 0$

$16 + a^2 - 32 - 2a + 1 < 0$

$a^2 - 2a - 15 < 0$

$(a + 3)(a - 5) < 0$

$-3 < a < 5$
jawab: E

Lingkaran yang berpusat di

$(a,\ b)$ dengan

$a,\ b > 3$ menyinggung garis

$3x + 4y = 12$ . Jika lingkaran tersebut berjari-jari 12, maka

$3a + 4b =$ . . . .
A. 24
B. 36
C. 48
D. 60
E. 72

Jarak antara pusat lingkaran dengan garis singgung adalah jari-jari, sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak antara titik

$(a,\ b)$ dengan garis

$3x + 4y - 12 = 0$ .

$R = \begin{vmatrix}\dfrac{3a + 4b - 12 }{\sqrt{3^2 + 4^2}} \end{vmatrix}$

$12 = \begin{vmatrix}\dfrac{3a + 4b - 12 }{\sqrt{25}} \end{vmatrix}$

$12 = \begin{vmatrix}\dfrac{3a + 4b - 12 }{5} \end{vmatrix}$

$60 = 3a + 4b - 12$

$72 = 3a + 4b$
jawab: E

Jika lingkaran

$x^2 + y^2 = 1$ menyinggung garis

$ax + by = 2b$ , maka

$\dfrac{a^2}{a^2 + b^2} =$ ....

$A.\ \dfrac14$

$B.\ \dfrac12$

$C.\ \dfrac34$

$D.\ 1$

$E.\ 2$

$x^2 + y^2 = 1$ adalah lingkaran dengan pusat

$O(0,0)$ dan berjari-jari 1. Jari-jari lingkaran adalah jarak antara pusat lingkaran

$O(0,0)$ dengan garis singgung

$ax + by - 2b = 0$ .

$1 = \begin{vmatrix}\dfrac{a.0 + b.0 - 2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{vmatrix}$

$1 = \begin{vmatrix}\dfrac{-2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{vmatrix}$

$1 = \dfrac{4b^2}{a^2 + b^2}$

$a^2 + b^2 = 4b^2$

$a^2 = 3b^2$

$\begin{align} \dfrac{a^2}{a^2 + b^2} &= \dfrac{3b^2}{3b^2 + b^2}\\ &= \dfrac{3b^2}{4b^2}\\ &= \dfrac34\\ \end{align}$
jawab: C

Jika garis

$y = mx + b$ menyinggung lingkaran

$x^2 + y^2 = 1$ , maka nilai

$b^2 - m^2 + 1 =$ . . . .

$A.\ -3$

$B.\ -2$

$C.\ 0$

$D.\ 2$

$E.\ 3$

Jarak titik

$O(0,0)$ dengan garis

$mx - y + b$ sama dengan jari-jari lingkaran.

$1 = \begin{vmatrix}\dfrac{m.0 - 0 + b}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \end{vmatrix}$

$1 = \begin{vmatrix}\dfrac{b}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \end{vmatrix}$

$1 = \dfrac{b^2}{m^2 + 1}$

$m^2 + 1 = b^2$

$1 = b^2 - m^2$

$1 + 1 = b^2 - m^2 + 1$

$2 = b^2 - m^2 + 1$
jawab: D

Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis

$2x + 3y - 5 = 0$ serta menyinggung sumbu X negatif dan sumbu Y positif adalah . . . .

$A.\ x^2 + y^2 + 10x - 10y + 25 = 0$

$B.\ x^2 + y^2 - 10x + 10y + 25 = 0$

$C.\ x^2 + y^2 - 10x + 10y - 15 = 0$

$D.\ x^2 + y^2 + 5x + 10y + 15 = 0$

$E.\ x^2 + y^2 + 5x - 10y + 15 = 0$

Jika lingkaran menyinggung sumbu X dan sumbu Y, maka jarak pusat ke sumbu X dan sumbu Y adalah jari-jari dan haruslah sama. Misalkan jarak antara pusat lingkaran dengan kedua sumbu (R) adalah

$p$ , maka pusat lingkaran adalah

$(-p,\ p)$ pada kuadran II. Karena pusat lingkaran terletak pada garis

$2x + 3y - 5 = 0$ , maka:

$2.(-p) + 3p - 5 = 0$

$p = 5$

$Pusat = (-5,\ 5)$

$Jari-jari = 5$

Persamaan lingkaran:

$(x - (-5))^2 + (y - 5)^2 = 5^2$

$(x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 5^2$

$x^2 + 10x + 25 + y^2 - 10y + 25 = 25$

$x^2 + y^2 + 10x - 10y + 25 = 0$
jawab: A.

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran

$x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0$ yang tegak lurus dengan garis

$x + 2y = 5$ adalah . . . .

$A.\ y = 2x - 2$

$B.\ y = 2x - 10$

$C.\ y = 2x - 4$

$D.\ y = 2x - 10$

$E.\ y = 2x - 12$

$x + 2y = 5 → m_1 = -\dfrac12$ . Jika gradien garis singgung adalah

$m_2$ , maka:

$m_1.m_2 = -1$

$-\dfrac12.m_2 = -1$

$m_2 = 2$

$Pusat\ lingkaran = (2,\ -1)$

$\begin{align} r^2 &= \dfrac14.(-4)^2 + \dfrac14.2^2\\ &= 4 + 1\\ &= 5\\ r &= \sqrt{5}\\ \end{align}$

Persamaan garis singgung lingkaran:

$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}$

$y - (-1) = 2(x - 2) \pm \sqrt{5}\sqrt{1 + 2^2}$

$y + 1 = 2x - 4 \pm \sqrt{5}.\sqrt{5}$

$y = 2x - 5 \pm 5$

$y = 2x$ atau

$y = 2x - 10$
jawab: D

Anton menabung di bank dengan saldo awal

$A$ dengan sistem bunga majemuk, tiga tahun kemudian saldonya menjadi

$B$ . Dewi menabung di bank yang sama dengan saldo awal

$x$ , saldo Dewi 6 tahun kemudian menjadi 3 kali dari saldo akhir Anton. Besarnya saldo awal Dewi adalah ....

$A.\ \dfrac{A^2}{4B}$

$B.\ \dfrac{A^2}{3B}$

$C.\ \dfrac{3A^2}{B}$

$D.\ 3A^2B$

$E.\ 4AB^2$

$M_n = M_o(1 + p)^n$

Tabungan Anton:

$B = A(1 + p)^3$

$(1 + p)^3 = \dfrac BA$ . . . . (*)

Tabungan Dewi:

$3B = x(1 + p)^6$

$3B = x\left((1 + p)^3\right)^2$ . . . . (**)

dari (*) dan (**)

$3B = x.\left(\dfrac BA\right)^2$

$3B = x.\dfrac{B^2}{A^2}$

$x = \dfrac{3A^2B}{B^2}$

$x = \dfrac{3A^2}{B}$
jawab: C

Ratna menabung di bank A dalam

$x$ tahun dan uangnya menjadi sebesar

$M$ . Wati juga menabung di bank A dalam

$x$ tahun dan uangnya menjadi 3 kali uang Ratna. Jika tabungan awal Wati sebesar Rp2.700.000,00 dan bank A menerapkan sistem bunga majemuk, maka tabungan awal Ratna adalah . . . .
A. Rp8.100.000,00
B. Rp5.000.000,00
C. Rp2.400.000,00
D. Rp2.700.000,00
E. Rp900.000,00

$M_n = M_o(1 + p)^n$

Tabungan Ratna:

$M = M_o(1 + p)^x$

Tabungan Wati:

$3M = 2700000(1 + p)^x$

$\dfrac{3M}{M} = \dfrac{2700000(1 + p)^x}{M_o(1 + p)^x}$

$3M_o = 2700000$

$Mo = 900000$
jawab: E

Ita menabung uang senilai

$A$ di suatu bank dengan sistem bunga majemuk. Jika saldo rekening 6 tahun yang akan datang adalah

$B$ , sedangkan saldo rekeningnya 9 tahun yang akan datang adalah

$3A$ , maka

$B =$ . . . .

$A.\ A\sqrt[6]{3}$

$B.\ A\sqrt[6]{9}$

$C.\ A\sqrt[3]{3}$

$D.\ A\sqrt[3]{9}$

$E.\ 2A$

$M_n = M_o(1 + p)^n$

Saldo setelah 6 tahun:

$B = A(1 + p)^6$

$(1 + p)^6 = \dfrac BA$ . . . . (*)

Saldo setelah 9 tahun:

$3A = A(1 + p)^9$

$3 = \left((1 + p)^6\right)^{3/2}$ . . . . (**)

dari (*) dan (**)

$3 = \left(\dfrac BA\right)^{3/2}$

$9 = \left(\dfrac BA\right)^3$

$9 = \dfrac{B^3}{A^3}$

$B^3 = 9A^3$

$B = \sqrt[3]{9A^3} = A\sqrt[3]{9}$
jawab: D

Jika diketahui suku barisan aritmetika bersifat

$x_{k + 2} = x_k + p$ dengan

$p \ne 0$ untuk sembarang bilangan asli positif

$k$ , maka

$x_3 + x_5 + x_7 + \cdots + x_{2n + 1} =$ . . . .

$A.\ \dfrac{pn^2 + 2nx_2}{2}$

$B.\ \dfrac{2pn^2 + nx_2}{2}$

$C.\ \dfrac{pn^2 + nx_2}{2}$

$D.\ \dfrac{pn^2 + 2x_2}{2}$

$E.\ \dfrac{pn^2 + 2pnx_2}{2}$

$x_3 + x_5 + x_7 + \cdots + x_{2n + 1} = \cdots$

Dari

$x_{k + 2} = x_k + p$ , maka:

$x_3 = x_2 + \dfrac12p$

$U_1 = x_3$

$U_2 = x_5 = x_3 + p$

$U_3 = x_7 = x_3 + 2p$
dst

$U_n = x_{2n + 1} = x_3 + (n - 1)p$

$\begin{align} S_n &= \dfrac n2(U_1 + U_n)\\ &= \dfrac n2(x_3 + x_3 + (n - 1)p)\\ &= \dfrac n2(2x_3 + pn - p)\\ &= \dfrac n2\left(2\left(x_2 + \dfrac12p\right) + pn - p\right)\\ &= \dfrac n2(2x_2 + p + pn - p)\\ &= \dfrac{2nx_2 + pn^2}{2}\\ \end{align}$
jawab: A

Diketahui barisan aritmetika dengan

$U_k$ menyatakan suku ke

$k$ . Jika

$U_{k + 2} = U_2 + kU_{16} - 2$ , maka nilai

$U_6 + U{12} + U_{18} + U_{24} =$ . . . .

$A.\ \dfrac 2k$

$B.\ \dfrac 3k$

$C.\ \dfrac 4k$

$D.\ \dfrac 6k$

$E.\ \dfrac 8k$

Pengertian:

$U_{n + m} = U_n + mb$

$U_n = a + (n - 1)b$

$U_{k + 2} = U_2 + kU_{16} - 2$

$U_k + 2b = a + b + k(a + 15b) - 2$

$a + (k - 1)b + 2b = a + b + k(a + 15b) - 2$

$a + kb + b = a + b + ka + 15kb - 2$

$2 = ka + 14kb$

$2 = k(a + 14b)$

$\dfrac 2k = a + 14b$

$U_6 + U{12} + U_{18} + U_{24}$

$= a + 5b + a + 11b + a + 17b + a + 23b$

$= 4a + 56b$

$= 4(a + 14b)$

$= 4.\dfrac 2k$

$= \dfrac 8k$
jawab: E

Jika

$U_n$ menyatakan suku ke

$n$ suatu barisan aritmetika dengan suku pertama

$a$ dan beda

$2a$ . Apabila

$U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 = 100$ , maka nilai dari

$U_2 + U_4 + U_6 + \cdots + U_{20}$ adalah . . . .
A. 720
B. 840
C. 960
D. 1080
E. 1200

$S_n = \dfrac n2(U_1 + U_n)$

$U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 = 100$

$S_5 = 100$

$\dfrac52(U_1 + U_5) = 100$

$\dfrac 52(a + a + 4b) = 100$

$\dfrac 52(a + a + 4.2a) = 100$

$\dfrac 52(10a) = 100$

$a = 4$

$b = 2a = 8$

Jumlah

$n$ suku pertama suku-suku genap:

$S_n = n(a + nb)$

$U_2 + U_4 + U_6 + \cdots + U_{20} = \cdots$

$n = 10$

$S_{10} = 10(4 + 10.8)$

$S_{10} = 10.84 = 840$
jawab: B

Diketahui deret aritmetika dengan

$U_n$ adalah suku ke

$n$ , suku pertama adalah

$a$ dan beda adalah

$b$ . Jika

$b = 2a$ dan

$U_1 + U_3 + U_5 + U_7 + U_9 = 90$ maka nilai dari

$U_8 + U_{10} + U_{12} + U_{14} + U_{16} = \cdots$

$A.\ 210$

$B.\ 220$

$C.\ 230$

$D.\ 240$

$E.\ 250$

$U_1 + U_3 + U_5 + U_7 + U_9 = 90$
Jumlah

$n$ suku pertama suku-suku ganjil:

$S_n = n(a - b + nb)$

$90 = 5(a - 2a + 5.2a)$

$90 = 5.9a$

$a = 2$

$b = 4$

$U_8 + U_{10} + U_{12} + U_{14} + U_{16} = \cdots$
Jumlah

$n$ suku pertama suku-suku genap:

$S_n = n(a + nb)$

$S_8 = 8(2 + 8.4) = 272$

$S_3 = 3(2 + 3.4) = 42$

$S_8 - S_3 = 272 - 42 = 230$
jawab: C

Diketahui deret aritmetika:

$U_1 + U_3 + U_5 + \cdots + U_{2n - 1} = \dfrac{n(n + 1)}{2}$
Untuk setiap

$n \geq 1$ .
Beda deret tersebut adalah . . . .

$A.\ \dfrac12$

$B.\ 1$

$C.\ \dfrac32$

$D.\ 2$

$E.\ \dfrac52$

$S_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$

$S_1 = U_1 = \dfrac{1(1 + 1)}{2} = 1$

$S_2 = U_1 + U_3 = \dfrac{2(2 + 1)}{2} = 3$

$1 + U_3 = 3$

$U_3 = 2$

$b = U_3 - U_1 = 2 - 1 = 1$
jawab: B

Jika perbandingan suku pertama dan suku ketiga suatu barisan aritmetika adalah

$2 : 3$ , maka perbandingan suku kedua dan suku keempat adalah . . . .

$A.\ 1 : 3$

$B.\ 3 : 4$

$C.\ 4 : 5$

$D.\ 5 : 6$

$E.\ 5 : 7$

$\dfrac{a}{a + 2b} = \dfrac23$

$3a = 2a + 4b$

$a = 4b$

$\begin{align} \dfrac{U_2}{U_4} &= \dfrac{a + b}{a + 3b}\\ &= \dfrac{4b + b}{4b + 3b}\\ &= \dfrac{5b}{7b}\\ &= \dfrac57\\ &= 5 : 7\\ \end{align}$
jawab: E

Dari angka-angka 2, 4, 6, 7, dan 8 akan dibuat bilangan yang terdiri dari 6 angka. Jika hanya angka 6 yang boleh muncul dua kali, maka banyak bilangan yang dapat dibuat adalah . . . .
A. 504
B. 440
C. 384
D. 360
E. 180

Karena angka 6 dapat muncul 2 kali, maka jika disusun ulang angka-angkanya adalah: 2, 4, 6, 6, 7, dan 8. Ingat permutasi dengan elemen yang sama !

$\begin{align} Banyak\ susunan &= \dfrac{6 !}{2 !}\\ &= \dfrac{6.5.4.3.2!}{2!}\\ &= 6.5.4.3\\ &= 360\\ \end{align}$
jawab: D

Dari angka-angka 2, 3, 5, 7, 9 akan dibentuk bilangan kelipatan 5 yang terdiri dari 6 digit. Jika angka 5 muncul 2 kali, maka banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah . . . .
A. 240
B. 120
C. 50
D. 40
E. 30

Ciri-ciri bilangan kelipatan 5 adalah angka satuannya 0 atau 5. Karena angka satuannya harus angka 5, maka tugas kita tinggal menyusun angka 2, 3, 5, 7, 9 dengan susunan 5 angka.

$\begin{align} Banyak\ susunan &= 5!\\ &= 5.4.3.2.1\\ &= 120\\ \end{align}$
jawab: B

Dari angka 1, 3, 5, dan 6 akan disusun bilangan terdiri dari 5 digit dengan syarat angka 5 boleh muncul dua kali. Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah . . . .
A. 360
B. 210
C. 180
D. 120
E. 60

Angka yang akan disusun adalah 1, 3, 5, 5, dan 6 dengan susunan 5 angka.

$\begin{align} Banyak\ susunan &= \dfrac{5!}{2!}\\ &= \dfrac{5.4.3.2!}{2!}\\ &= 5.4.3\\ &= 60\\ \end{align}$
jawab: E

Dari angka 2, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibentuk bilangan ganjil terdiri dari tiga digit berbeda. Banyak bilangan yang dapat dibentuk yang nilainya kurang dari 500 adalah . . . .
A. 144
B. 72
C. 24
D. 20
E. 16

Ciri-ciri bilangan ganjil adalah angka satuannya harus bilangan ganjil.
Ada 2 angka yang bisa menempati satuan yaitu 5 atau 9.
Ada 2 angka yang bisa menempati ratusan yaitu 2 atau 4.
Jika satuan dan ratusan sudah berisi, hanya ada 4 angka yang bisa menempati posisi puluhan.
Dengan demikian:

$Banyak\ bilangan = 2.4.2 = 16$
jawab: E

Dinda memiliki sebuah pasword yang terdiri dari satu huruf diantara huruf-huruf a, i, u, e, o. Peluang dinda gagal mengetikkan paswordnya tiga kali berturut-turut adalah ....

$A.\ \dfrac57$

$B.\ \dfrac45$

$C.\ \dfrac35$

$D.\ \dfrac25$

$E.\ \dfrac15$

Peluang gagal pada percobaan pertama dengan pilihan 5 huruf:

$P(G\ I) = \dfrac45$
Peluang gagal pada percobaab kedua dengan pilihan tinggal 4 huruf:

$P(G\ II) = \dfrac34$
Peluang gagal pada percobaan ketiga dengan pilihan tinggal 3 huruf:

$P(G\ III) = \dfrac23$

Dengan demikian, peluang gagal tiga kali berturut-turut adalah:

$P(G) = \dfrac45.\dfrac34.\dfrac23 = \dfrac25$
jawab: D

Dalam sebuah kantong terdapat

$m$ bola putih dan

$n$ bola merah dengan

$mn = 54$ . Jika diambil dua bola secara acak sekaligus dan peluang terambilnya kedua bola berbeda warna adalah

$\dfrac{18}{35}$ , maka

$m + n =$ . . . .
A. 9
B. 15
C. 21
D. 29
E. 55

$n(A) = mn = 54$

$\begin{align} n(S) &= \dfrac{(m + n)!}{(m + n - 2)!.2!}\\ &= \dfrac{(m + n)(m + n - 1)(m + n - 2)!}{(m + n - 2)!.2!}\\ &= \dfrac{(m + n)(m + n - 1)}{2}\\ \end{align}$

Misalkan

$m + n = p$

$\begin{align} P(A) &= \dfrac{n(A)}{n(S)}\\ \dfrac{18}{35} &= \dfrac{54.2}{p(p - 1)}\\ \dfrac{1}{35} &= \dfrac{6}{p(p - 1)}\\ p(p - 1) &= 6.35\\ &= 2.3.5.7\\ &= 15.14\\ p &= 15\\ m + n &= 15\\ \end{align}$
jawab: B

Dalam sebuah kantong terdapat bola merah dengan jumlah

$2n$ dan bola putih dengan jumlah

$3n$ . Jika dilakukan pengambilan dua bola sekaligus dengan peluang terambilnya warna berbeda adalah

$\dfrac{18}{35}$ , maka nilai

$\dfrac{5n - 1}{n}$ adalah . . . .

$A.\ \dfrac{12}{3}$

$B.\ \dfrac{13}{3}$

$C.\ \dfrac{14}{3}$

$D.\ \dfrac{15}{3}$

$E.\ \dfrac{16}{3}$

$n(A) = 2n.3n = 6n^2$

$\begin{align} n(S) &= \dfrac{5n!}{(5n - 2)!.2!}\\ &= \dfrac{5n(5n - 1)(5n - 2)!}{(5n - 2)!.2!}\\ &= \dfrac{5n(5n - 1)}{2}\\ \end{align}$

$\begin{align} P(A) &= \dfrac{n(A)}{n(S)}\\ \dfrac{18}{35} &= \dfrac{6n^2.2}{5n(5n - 1)}\\ \dfrac{18.5}{35.12} &= \dfrac{n}{5n - 1}\\ \dfrac{3}{14} &= \dfrac{n}{5n - 1}\\ \dfrac{14}{3} &= \dfrac{5n - 1}{n} \end{align}$
jawab: C

Dalam sebuah kantong terdapat

$m$ bola putih dan

$n$ bola merah dengan

$m.n = 120$ dan

$m < n$ . Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah

$\dfrac57$ , maka nilai

$m + n =$ . . . .
A. 34
B. 26
C. 23
D. 22
E. 21

Karena peluang terambilnya paling sedikit satu bola warna putih adalah

$\dfrac57$ , maka peluang terambilnya dua-duanya bola warna merah adalah:

$P(2M) = 1 - \dfrac57 = \dfrac27$ .

$\begin{align} n(2M) &= \dfrac{n!}{(n - 2)!.2!}\\ &= \dfrac{n(n - 1)(n - 2)!}{(n - 2)!.2}\\ &= \dfrac{n(n - 1)}{2}\\ \end{align}$

$\begin{align} n(S) &= \dfrac{(m + n)!}{(m + n - 2)!.2!}\\ &= \dfrac{(m + n)(m + n - 1)(m + n - 2)!}{(m + n - 2)!.2}\\ &= \dfrac{(m + n)(m + n - 1)}{2}\\ \end{align}$

$\begin{align} P(2M) &= \dfrac{n(2M)}{n(S)}\\ \dfrac27 &= \dfrac{n(n - 1)}{(m + n)(m + n - 1)}\\ \end{align}$

Perhatikan !

$(m + n)$ atau

$(m + n - 1)$ haruslah kelipatan 7 dan

$m.n = 120$ . Satu-satunya opsi yang memenuhi hanyalah opsi D.
Perhatikan opsi D !

$m + n = 22,\ mn = 120$

$m = 10,\ n = 12$

$m + n - 1 = 21$ ← kelipatan 7.
jawab: D

Dalam sebuah kotak terdapat

$m$ bola merah dan

$n$ bola putih dengan

$m + n = 16$ . Jika bola diambil sekaligus secara acak dari dalam kotak, maka peluang terambilnya dua bola tersebut berbeda warna adalah

$\dfrac12$ . Nilai dari

$m^2 + n^2$ adalah . . . .
A. 200
B. 160
C. 146
D. 136
E. 128

$n(A) = mn$

$\begin{align} n(S) &= \dfrac{16!}{14!.2!}\\ &= \dfrac{16.15.14!}{14!.2}\\ &= 120\\ \end{align}$

$\begin{align} P(A) &= \dfrac{n(A)}{n(S)}\\ \dfrac12 &= \dfrac{mn}{120}\\ mn &= 60\\ \end{align}$

$\begin{align} m^2 + n^2 &= (m + n)^2 - 2mn\\ &= 16^2 - 2.60\\ &= 256 - 120\\ &= 136\\ \end{align}$
jawab: D

Diketahui data

$3,\ x,\ 6,\ 6, 7, 8, y$ , dengan

$x < y$ . Jika rata-rata dari data tersebut adalah 6 dan standar deviasi

$\sqrt{\dfrac{22}{7}}$ maka

$x^2 - y =$ . . . .
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
E. 11

$\dfrac{3 + x + 2.6 + 7 + 8 + y}{7} = 6$

$x + y + 30 = 42$

$x + y = 12$

$y = 12 - x$

$S^2 = \dfrac1n\displaystyle \sum_{i = 1}^n f_i(x_i - \bar{x})^2$

$\left(\sqrt{\dfrac{22}{7}}\right)^2 = \dfrac17[(3 - 6)^2 + (x - 6)^2 +$

$2.(6 - 6)^2 + (7 - 6)^2 + (8 - 6)^2 + (y - 6)^2]$

$\dfrac{22}{7} = \dfrac17[9 + (x - 6)^2 + 0 + 1 + 4 + (y - 6)^2]$

$22 = (x - 6)^2 + (6 - x)^2 + 14$

$22 = x^2 - 12x + 36 + 36 - 12x + x^2 + 14$

$2x^2 - 24x + 64 = 0$

$x^2 - 12x + 32 = 0$

$(x - 4)(x - 8) = 0$

$x = 4$

$y = 8$

$x^2 - y = 4^2 - 8 = 8$
jawab: B

Diketahui bilangan

$a,b,5,3,7,6,6,6,6,6$ dengan rata - rata

$5$ dan vatians

$\dfrac{13}{5}$ , nilai

$ab =$ ...

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10

$\dfrac{a + b + 5 + 3 + 7 + 5.6}{10} = 5$

$a + b + 45 = 50$

$a + b = 5$

$a = 5 - b$

Ragam atau Varians:

$R = \displaystyle \dfrac1n\sum_{i = 1}^nf_i(x_i - \bar{x})^2$

$\dfrac{13}{5} = \dfrac{1}{10}[(a - 5)^2 + (b - 5)^2 +$

$(5 - 5)^2 + (3 - 5)^2 + (7 - 5)^2 + 5.(6 - 5)^2]$

$26 = (-b)^2 + (b - 5)^2 + 0 + 4 + 4 + 5.1$

$26 = b^2 + b^2 - 10b + 25 + 13$

$2b^2 - 10b + 12 = 0$

$b^2 - 5b + 6 = 0$

$(b - 2)(b - 3) = 0$

$b = 2 → a = 3$

$b = 3 → a = 2$

$ab = 6$
jawab: C

Bilangan-bilangan bulat

$a,a + 1,a + 1,7,b,b,9$ sudah diurutkan dari terkecil ke besar. Jika rata-rata semua bilangan itu 7 dan simpangan rata-ratanya

$\dfrac87$ maka nilai

$a + b - 1 =$ . . . .
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 14

$\dfrac{a + 2(a + 1) + 7 + 2b + 9}{7} = 7$

$3a + 2b + 18 = 49$

$3a + 2b = 31$

$2b = 31 - 3a$

Simpangan rata-rata:

$SR = \displaystyle \dfrac1n \sum_{i = 1}^n f_i|x_i - \bar{x}|$

$\dfrac87 = \dfrac17[|a - 7| + 2.|a + 1 - 7| +$

$|7 - 7| + 2.|b - 7| + |9 - 7|]$

$8 = |a - 7| + 2.|a - 6| + 0 + 2.|b - 7| + 2$

$6 = |a - 7| + 2.|a - 6| + 0 + 2.|b - 7|$
Dari soal terlihat bahwa

$a < 7$ dan jika

$a \ne 6$ maka

$a < 6$ , sedangkan

$b > 7$ . Persamaan menjadi:

$6 = -(a - 7) - 2(a - 6) + 2b - 14$

$6 = 7 - a + 12 - 2a + 31 - 3a - 14$

$6a = 30$

$a = 5$

$2b = 31 - 3a$

$2b = 31 - 3.5$

$2b = 16$

$b = 8$

$a + b - 1 = 5 + 8 - 1 = 12$
jawab: C

Nilai matematika 7 orang siswa setelah diurutkan adalah sebagai berikut:

$a,b,c,7,d,d,9$ . Jika nilai rata-rata semua siswa adalah 7 dan rata-rata 3 siswa terendah adalah

$\dfrac{17}{3}$ , maka rata-rata 3 nilai terbaik adalah . . . .

$A.\ 8$

$B.\ \dfrac{25}{3}$

$C.\ \dfrac{26}{3}$

$D.\ 9$

$E.\ \dfrac{28}{3}$

Rata-rata 3 nilai terendah:

$\dfrac{a + b + c}{3} = \dfrac{17}{3}$

$a + b + c = 17$

$\dfrac{a + b + c + 7 + 2d + 9}{7} = 7$

$\dfrac{17 + 7 + 2d + 9}{7} = 7$

$2d = 49 - 33$

$2d = 16$

$d = 8$

Rata-rata 3 nilai terbaik:

$\bar{x} = \dfrac{8 + 8 + 9}{3} = \dfrac{25}{3}$
jawab: B

Jika

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2 - x + a) - a^3}{x^2 + x - 2} = L$ , maka

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{2x(x^2 - x + a) - 2a^3x}{x^2 + x - 2} =$ . . . .

$A.\ \dfrac13L$

$B.\ \dfrac12L$

$C.\ L$

$D.\ 2L$

$E.\ 3L$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{2x(x^2 - x + a) - 2a^3x}{x^2 + x - 2}$

$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{((x^2 - x + a) - a^3).2x}{x^2 + x - 2}$

$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{((x^2 - x + a) - a^3)}{x^2 + x - 2}.\displaystyle \lim_{x \to 1}2x$

$= L.2.1$

$= 2L$
jawab: D

Jika

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax + b}}{x + 1} = 2$ , maka

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8} + \dfrac b8} - 2x + 1}{x^2 + 4x + 3} =$ . . . .

$A.\ \dfrac{-2}{15}$

$B.\ \dfrac{-1}{15}$

$C.\ 0$

$D.\ \dfrac{1}{15}$

$E.\ \dfrac{2}{15}$

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8} + \dfrac b8} - 2x + 1}{x^2 + 4x + 3}$

$= \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{\frac12.\sqrt[3]{ax + b}}{x^2 + 4x + 3} +$

$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{-2x + 1}{x^2 + 4x + 3}$

$= \dfrac12.\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax + b}}{(x + 1)}.\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{1}{(x + 3)} +$

$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{-2x + 1}{x^2 + 4x + 3}$

$= \dfrac12.2.\dfrac{1}{2 + 3} + \dfrac{-2.2 + 1}{2^2 + 4.2 + 3}$

$= \dfrac15 - \dfrac{3}{15}$

$= \dfrac15 - \dfrac15$

$= 0$
jawab: A

Jika

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2}{x - 1} = A$ , maka

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2x}{x^2 + 2x - 3} =$ . . . .

$A.\ \dfrac{2 - A}{2}$

$B.\ -\dfrac A2$

$C.\ \dfrac{A - 2}{4}$

$D.\ \dfrac A4$

$E.\ \dfrac{A + 2}{4}$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2x}{x^2 + 2x - 3}$

$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2 + 2 - 2x}{(x - 1)(x + 3)}$

$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2}{(x - 1)(x + 3)} +$

$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{2 - 2x}{x^2 + 2x - 3}$

$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2}{(x - 1)}.\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{x + 3} +$

$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{2 - 2x}{x^2 + 2x - 3}$

$= A.\dfrac{1}{1 + 3} + \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{-2}{2x + 2}$

$= A.\dfrac{1}{4} + \dfrac{-2}{2.1 + 2}$

$= \dfrac14A - \dfrac12$

$= \dfrac{A - 2}{4}$
jawab: C

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{cot\ 2x - csc\ 2x}{cos\ 3x\ tan\ \dfrac13x} =$ . . . .

$A.\ 3$

$B.\ 2$

$C.\ 0$

$D.\ -2$

$E.\ -3$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{cot\ 2x - csc\ 2x}{cos\ 3x\ tan\ \frac13x}$

$= \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{cos\ 2x}{sin\ 2x} - \dfrac{1}{sin\ 2x}}{cos\ 3x\ tan\ \frac13x}$

$= \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{cos\ 2x - 1}{sin\ 2x\ cos\ 3x\ tan\ \frac13x}$

$= \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{-2sin^2\ x}{2sin\ x\ cos\ x\ cos\ 3x\ tan\ \frac13x}$

$= -\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{sin\ x}{cos\ x\ cos\ 3x\ tan\ \dfrac13x}$

$= -\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{cos\ x\ cos\ 3x}.\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{sin\ x}{tan\frac13x}$

$= -1.3$

$= -3$
jawab: E

Artikels

	Matematika Geometri : Fungsi Dan Invers
	Matematika Aljabar : Faktorial - Permutasi - Kombinasi I
	Fungsi Grafik Kuadrat
	Soal UAS 1 Matematika Kelas 12 IPA dan IPS
	Soal UAS 1 Matematika Peminatan Kelas 12 IPA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik
	Soal PAS 1 KIMIA Kelas 12 SMA MA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik II
	Soal PAS 1 FISIKA Kelas 12 SMA MA
	Soal PAS 1 B.Inggris Kelas 12 SMA MA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik III
	Soal PAS 1 B. Indonesia Kelas 12 SMA MA
	Soal PAS 1 Matematika Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 IPA Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 B. Indonesia Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 B.Inggris Kelas 9 SMP MTs
	Soal Bidang Tiga Dimensi MATEMATIKA kelas 12
	Soal PAS 1 PAI Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 KIMIA Kelas 12 SMA MA II
	Soal Dan Pembahasan Persamaan Linear Dua Variabel Dan Lebih
	Fisika - Cara Paham Materi Listrik Elektrikal SMP SMA
	Matematika - Permutasian dan Kombinasi
	Soal dan Pembahasan Koordinat Cartesius
	Asesmen Nasional Pengganti UN Digelar Maret-Agustus 2021
	Soal Logaritma Matematika SBMPTN
	Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri
	Soal Dan Pembahasan Kimia Karbon Kelas 12 SMA MA
	Tabel periodik: Para ilmuwan mengusulkan metode baru untuk menentukan Unsur
	Pelaksanaan Asesmen Kompetensi Minimum (AKM) Dan Contoh Soal
	Soal AKM SMA MA Bagian I
	Soal AKM SMP MTs