Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri

Daftar Bimbel SBMPTN

Daftar Bimbel SIMAK-UI

Transformasi Geometri adalah Cabang Ilmu Matematika Geometri, secara umum yaitu sebuah proses penentuan titik koordinat baru dari sebuah bangun pada sebuah bidang dan dalam arti khusus, yaitu penentuan hasil hitungan satu perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya sendiri.

Dalam pelajaran Transformasi Geometri, berdasarkan perubahan pergeseran sebuah bidang dibagi kedalam 4 jenis

1. TRANSLASI / PERGESERAN


2. REFLEKSI / PENCERMINAN


3. ROTASI / PERPUTARAN


4. DILATASI / SKALA

Di sini kami tidak akan menjelaskan masing - masing dari jenis pergeseran dan rumus perhitungannya, diatas hanya sebagai pengantar pengingat saja. Karena intinya adalah melihat teori diatas berdasarkan contoh soal dan cara penyelesaiannya.

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Bayangan titik $P(2,-3)$ oleh rotasi $R[O,90^{\circ}]$ adalah $\cdots \cdot$
   
   
   
   A. $P’(3,2)$
   B. $P’(2,3)$
   C. $P’(-2,3)$
   D. $P’(-3,2)$
   E. $P’(-3,-2)$
   
   
   



Konsep rotasi:

Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(0,0) $ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah

$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $

Untuk $(x, y) = (2,-3)$ dan rotasi dengan pusat di titik asal sebesar $\theta = 90^{\circ}$, diperoleh

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $\boxed{P'(3,2)}$

Jawaban : A







2. Diketahui koordinat titik $P(-8,12)$. Dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\cdots \cdot$
   
   
   
   A. $(-4,8)$
   B. $(-4,16)$
   C. $(-4,-8)$
   D. $(4,-16)$
   E. $(4,-8)$
   
   
   



Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b)$.

Bayangan titik $(-4, 8))$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-8, 12)$ dan faktor skala $1$ adalah

$(1(-4-(-8))+(-8), 1(8-12)+12)$ $= (-4, 8)$

Dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\boxed{(-4, 8)}$

Jawaban : A






3. Bayangan titik $P(5,4)$ jika didilatasikan terhadap pusat $(-2,-3)$ dengan faktor skala $-4$ adalah $\cdots \cdot$
   
   
   
   
   A. $(-30,-31)$
   B. $(-30,7)$
   C. $(-26,-1)$
   D. $(-14,-1)$
   E. $(-14,-7)$
   
   
   



Diketahui $P(x, y) = P(5,4)$. Pusat dilatasi di $(a, b) = (-2,-3)$ dan $k =-4$.

Misalkan bayangan titik $P$ berada di koordinat $(x’, y’)$, maka

$\begin{aligned} x’ & = k(x-a) + a \\ & =-4(5-(-2)) + (-2) \\ & =-4(7)-2 =-30 \end{aligned}$

$\begin{aligned} y’ & = k(y-b) + b \\ & =-4(4-(-3))- 3 \\ & =-4(7)-3=-31 \end{aligned}$

Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $(-30,-31)$.

Jawaban : A






4. Bayangan titik $P(a,b)$ oleh rotasi terhadap titik pusat $(0,0)$ sebesar $-90^{\circ}$ adalah $P'(-10,-2)$. Nilai $a+2b = \cdots \cdot$
   
   
   
   A. $-18$
   B. $-8$
   C. $8$
   D. $18$
   E. $22$
   
   
   



Konsep rotasi:

Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah

$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Untuk $(x’, y’) = (-10,-2)$ dan $\theta =-90^{\circ}$, diperoleh

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90^{\circ}) &-\sin (-90^{\circ}) \\ \sin (-90^{\circ}) & \cos (-90^{\circ}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} y \\-x \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh $y =-10$ dan $x = 2$. Dengan demikian, koordinat titik $P$ adalah $(2,-10$). Untuk itu, $a=2$ dan $b=-10$, sehingga $\boxed{a+2b=2+2(-10)=-18}$

Jawaban : A







5. Diketahui titik $P'(3,-13)$ adalah bayangan titik $P$ oleh translasi $T = \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix}$. Koordinat titik $P$ adalah $\cdots \cdot$
   
   
   
   A. $(13,-20)$
   B. $(13,-4)$
   C. $(4,20)$
   D. $(-5,-4)$
   E. $(-5,-20)$
   
   
   



Konsep translasi: Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, sehingga koordinat bayangannya adalah

$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

Diketahui: $P'(3,-13)$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix}$, sehingga

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 3 \\-13 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 \\-13 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 13 \\-20 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{(13,-20)}$

Jawaban : A






6. Bayangan titik $A$ dengan $A(-1,4)$ jika direfleksikan terhadap garis $y=-x$ adalah $\cdots \cdot$
   
   
   
   A. $A'(4,1)$
   B. $A'(-4,1)$
   C. $A'(4,-1)$
   D. $A'(4,3)$
   E. $A'(-4,-1)$
   
   
   



Apabila titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y =-x$, maka bayangan titik $A$ adalah $A’ = (-y,-x)$.

Jadi, bayangan titik $A(-1,4)$ adalah $A'(-4,1)$.

Jawaban : B






7. Titik $B(3,-2)$ dirotasikan sebesar $90^{\circ}$ terhadap titik pusat $P(-1,1)$. Bayangan titik $B$ adalah $\cdots \cdot$
   
   
   
   A. $B’(-4,3)$
   B. $B’(1,4)$
   C. $B’(-2,1)$
   D. $B’(2,5)$
   E. $B’(2,5)$
   
   
   



Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(a, b) $ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah

$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$Untuk $(x, y) = (3,-2)$ dan rotasi dengan pusat $(-1,1)$ sebesar $\theta = 90^{\circ}$, diperoleh

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-(-1) \\-2-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $\boxed{B'(2,5)}$

Jawaban : E






8. Segitiga $KLM$ dengan $K(6,4), L(-3, 1), M(2,-2)$ didilatasi dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala 4. Koordinat bayangan $\triangle KLM$ adalah $\cdots \cdot$
   
   
   
   A. $K'(30, 7), L'(-6,-5), M'(14,-17)$
   B. $K'(30, 7), L'(-6,-5), M'(10,-12)$
   C. $K'(30, 7), L'(-3,-7), M'(14,-17)$
   D. $K'(7, 24), L'(-5,-6), M'(14, 8)$
   E. $K'(7, 24), L'(-6,-5), M'(7, 30)$
   
   
   



Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b)$.
Bayangan titik $K(6, 4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah

$K'(4(6+2)-2, 4(4-3)+3) = K'(30, 7)$

Bayangan titik $L(-3, 1)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah

$L'(4(-3+2)-2, 4(1-3)+3)$ $= L'(-6,-5)$

Bayangan titik $M(2,-2)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah

$M'(4(2+2)-2, 4(-2-3)+3)$ $= M'(14,-17)$

Jadi, koordinat bayangan $\triangle KLM$ adalah $\boxed{K(30, 7), L(-6,-5), M(14,-17)}$
Jawaban : A






9. Bayangan titik $B(4,8)$ direfleksikan terhadap sumbu $X$ kemudian dilanjutkan dengan dilatasi $\left[O, \dfrac{1}{2}\right]$ adalah $\cdots \cdot$
   
   
   
   A. $(-2, 4)$
   B. $(2,-4)$
   C. $(8,-2)$
   D. $(-8, 4)$
   E. $(-8,-4)$
   
   
   



Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.

Konsep refleksi: Jika titik $(x, y)$ direfleksikan (dicerminkan) terhadap sumbu $X$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(x,-y)$.

Untuk itu, dapat dibuat skema panah dari proses refleksi terhadap sumbu $X$ terhadap titik $B$ berikut.

$B(4, 8) \xrightarrow{R_X} B'(4,-8)$

Selanjutnya, buatlah skema panah proses dilatasi terhadap titik $B$ seperti berikut.

$\begin{aligned} B'(4,-8) \xrightarrow{D\left[O, \dfrac{1}{2}\right]} & P'(\dfrac{1}{2} \times 4, \dfrac{1}{2} \times-8) \\ & = P^{\prime \prime}(2,-4) \end{aligned}$

Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $(2,-4)$.

Jawaban : B






10. Diketahui koordinat titik $T(-1,5)$. Bayangan titik $T$ oleh transformasi yang diwakili oleh matriks $\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}$, dilanjutkan refleksi terhadap garis $x = 8$ adalah $\cdots \cdot$
    
    
    
    
    A. $T'(30,-7)$
    B. $T'(19, 23)$
    C. $T'(19,-22)$
    D. $T'(3,-7)$
    E. $T'(-3,-7)$
    
    
    



Bayangan titik $T(-1, 5)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema:

$$\begin{aligned} T\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}} & T’\left[\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\ & = T’ \begin{pmatrix}-4(-1) + 3(5) \\ 2(-1) + (-1)(5) \end{pmatrix} \\ & = T’\begin{pmatrix} 19 \\-7 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Transformasi titik dilanjutkan oleh refleksi terhadap garis $\color{red} {x=8}$ sehingga diperoleh

$\begin{aligned} T’\begin{pmatrix} 19 \\-7 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x =-8}} & T^{\prime \prime}\begin{pmatrix} 2(\color{red}{8})- 19 \\-7 \end{pmatrix} \\ & = T^{\prime \prime}\begin{pmatrix}-3 \\-7 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Jadi, koordinat bayangan titik $T$ adalah $\boxed{(-3,-7)}$

Jawaban : E)






11. Garis $3x+2y=6$ ditranslasikan oleh $T (3,-4)$, lalu dilanjutkan dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala $2$. Hasil bayangan transformasinya adalah $\cdots \cdot$
    
    
    
    A. $3x+2y=14$
    B. $3x+2y=7$
    C. $3x+y=14$
    D. $3x+y=7$
    E. $x+3y=14$
    
    
    



Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T(3,-4)$, sehingga diperoleh

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{T(3,-4)} \begin{pmatrix} x + 3 \\ y- 4 \end{pmatrix}$

Transformasi titik dilanjutkan oleh dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala 2, sehingga diperoleh

$\begin{pmatrix} x + 3 \\ y-4 \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 2]} \begin{pmatrix} 2x + 6 \\ 2y- 8 \end{pmatrix}$

Diperoleh:

$\begin{cases} x^{\prime \prime} = 2x + 6 \Leftrightarrow x = \dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2} \\ y^{\prime \prime} = 2y-8 \Leftrightarrow y = \dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2} \end{cases}$

Substitusikan ke $3x+2y=6$ untuk mendapatkan

$\begin{aligned} 3\left(\dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2}\right) + 2\left(\dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2}\right) & = 6 \\ \text{Kali kedua ruas dengan 2}& \\ 3(x^{\prime \prime}-6) + 2(y^{\prime \prime} + 8) & = 12 \\ 3x^{\prime \prime}-18 + 2y^{\prime \prime} + 16 & = 12 \\ 3x^{\prime \prime} + 2y^{\prime \prime} & = 14 \end{aligned}$

Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan garisnya adalah $\boxed{3x+2y=14}$

Jawaban : A






12. Persamaan bayangan garis $2x+y-1=0$ ditransformasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$
    
    
    
    A. $3x+y-1=0$
    B. $5x-y+1=0$
    C. $3x+y+1=0$
    D. $5x+y-1=0$
    E. $5x+y+1=0$
    
    
    



Bayangan titik $(x, y)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema:

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \left[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right] \\ & = \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \end{aligned}$

Transformasi titik dilanjutkan oleh pencerminan (refleksi) terhadap sumbu-$X$ sehingga diperoleh

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x}} \begin{pmatrix} x + y \\-x-2y \end{pmatrix} \end{aligned}$

Diperoleh $x^{\prime \prime} = x + y$ dan $y^{\prime \prime} =-x-2y$.

Dengan menggunakan konsep penyelesaian SPLDV, diperoleh

br //span>
Substitusikan ke $2x+y-1=0$, sehingga diperoleh

$\begin{aligned} 2(2x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime})-(x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime})-1 & = 0 \\ 3x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}- 1 & = 0 \end{aligned}$

Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan garisnya, yakni $\boxed{3x+y-1=0}$

Jawaban : A






13. Suatu vektor $\overline{a} = (-3,4)$ berturut-turut merupakan pencerminan terhadap garis $y=x$ dan rotasi sebesar $90^{\circ}$ searah jarum jam. Vektor awalnya sebelum ditransformasi adalah $\cdots \cdot$
    
    
    
    A. $(3,4)$
    B. $(-3,-4)$
    C. $(-4,3)$
    D. $(4,-3)$
    E. $(-3,4)$
    
    
    



Misalkan vektor awalnya adalah $(a, b)$, maka pencerminan terhadap garis $y = x$ dapat dinyatakan dalam skema berikut.

\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \xrightarrow{M_{y=x}} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}$

Transformasi dilanjutkan oleh rotasi sebesar $90^{\circ}$ searah jarum jam, sama artinya dengan $270^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam, sehingga dapat dibuat skema berikut.

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O, 270^{\circ}]} & \begin{pmatrix} \cos 270^{\circ} &-\sin 270^{\circ} \\ \sin 270^{\circ} & \cos 270^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a \\-b \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh hasil transformasi vektor berbentuk $(a,-b)$. Karena diketahui vektor $\overline{a} = (-3,4)$ merupakan hasil transformasinya, maka diperoleh $a=-3$ dan $b=-4$.

Jadi, vektor awalnya adalah $\boxed{\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\-4 \end{pmatrix}}$

Jawaban : B







14. Persamaan bayangan garis $2x+y-1=0$ ditransformasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$
    
    
    
    
    A. $3x+y-1=0$
    B. $5x-y+1=0$
    C. $3x+y+1=0$
    D. $5x+y-1=0$
    E. $5x+y+1=0$
    
    
    



Bayangan titik $(x, y)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema:

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \left[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right] \\ & = \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \end{aligned}$

Transformasi titik dilanjutkan oleh pencerminan (refleksi) terhadap sumbu-$X$ sehingga diperoleh

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x}} \begin{pmatrix} x + y \\-x-2y \end{pmatrix} \end{aligned}$

Diperoleh $x^{\prime \prime} = x + y$ dan $y^{\prime \prime} =-x-2y$.

Dengan menggunakan konsep penyelesaian SPLDV, diperoleh

$\begin{cases}-y = x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime} \\ x = 2x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime} \end{cases}$

Substitusikan ke $2x+y-1=0$, sehingga diperoleh

$\begin{aligned} 2(2x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime})-(x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime})-1 & = 0 \\ 3x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}- 1 & = 0 \end{aligned}$

Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan garisnya, yakni $\boxed{3x+y-1=0}$

Jawaban : A






15. Bayangan kurva $y=x^2+3x+3$ jika dicerminkan terhadap sumbu-$X$ dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala $3$ adalah $\cdots \cdot$
    
    
    
    
    
    A. $x^2+9x-3y+27=0$
    B. $x^2+9x+3y+27=0$
    C. $3x^2+9x-y+27=0$
    D. $3x^2+9x+y+27=0$
    E. $3x^2+9x+27=0$
    
    
    



Hasil pencerminan terhadap sumbu-$X$ dapat dinyatakan dalam skema berikut.

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{M_{\text{Sumbu}~X}} \begin{pmatrix} x \\-y \end{pmatrix}$

Hasil dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala 3 dapat dinyatakan dalam skema berikut.

$\begin{pmatrix} x \\-y \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 3]} \begin{pmatrix} 3x \\-3y \end{pmatrix}$
Diperoleh $x^{\prime \prime} = 3x$ dan $y^{\prime \prime} =-3y$, sehingga ditulis $\begin{cases} x = \dfrac13x^{\prime \prime} \\ y =-\dfrac13y^{\prime \prime} \end{cases}$
Substitusikan ke $y=x^2+3x+3$, sehingga didapat
$\begin{aligned}&-\dfrac13y^{\prime \prime} = \left(\dfrac13x^{\prime \prime}\right)^2 + 3\left(\dfrac13x^{\prime \prime}\right) + 3 \\ & \text{Kali kedua ruas dengan 9} \\ &-3y^{\prime \prime} = (x^{\prime \prime})^2 + 9x^{\prime \prime} + 27 \\ & (x^{\prime \prime})^2 + 9x^{\prime \prime} + 3y^{\prime \prime} + 27 = 0 \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan kurvanya, yakni $\boxed{x^2 + 9x + 3y + 27 = 0}$
Jawaban : B

Artikels

	Matematika Geometri : Fungsi Dan Invers
	Matematika Aljabar : Faktorial - Permutasi - Kombinasi I
	Fungsi Grafik Kuadrat
	Soal UAS 1 Matematika Kelas 12 IPA dan IPS
	Soal UAS 1 Matematika Peminatan Kelas 12 IPA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik
	Soal PAS 1 KIMIA Kelas 12 SMA MA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik II
	Soal PAS 1 FISIKA Kelas 12 SMA MA
	Soal PAS 1 B.Inggris Kelas 12 SMA MA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik III
	Soal PAS 1 B. Indonesia Kelas 12 SMA MA
	Soal PAS 1 Matematika Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 IPA Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 B. Indonesia Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 B.Inggris Kelas 9 SMP MTs
	Soal HOTS MATEMATIKA UTBK
	Soal PAS 1 PAI Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 KIMIA Kelas 12 SMA MA II
	Soal Dan Pembahasan Persamaan Linear Dua Variabel Dan Lebih
	Fisika - Cara Paham Materi Listrik Elektrikal SMP SMA
	Matematika - Permutasian dan Kombinasi
	Soal dan Pembahasan Koordinat Cartesius
	Asesmen Nasional Pengganti UN Digelar Maret-Agustus 2021
	Soal Logaritma Matematika SBMPTN

Soal Logaritma Matematika SBMPTN

Daftar Bimbel SBMPTN

Daftar Bimbel SIMAK-UI

Bilangan berpangkat ${\color{Blue} a}^{\color{Red} b}={\color{Green} c}$,
- untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} a}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} b}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $ \sqrt[{\color{Red} b}]{{\color{Green} c}}={\color{Blue} a}$
- untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} b}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} a}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} c}={\color{Red} b}$

Beberapa contoh atau kesimpulan sederhana, bisa kita tuliskan;

$ {\color{Blue} 3}^{\color{Red} 2}={\color{Green} 9} $ $\Leftrightarrow $ $^{{\color{Blue} 3}}\textrm{log}\ {\color{Green} 9}= {\color{Red}2}$;

$ \sqrt[{\color{Red} 2}]{{\color{Green} 9}}={\color{Blue} 3}$ $\Leftrightarrow$ $ {\color{Blue} 3}^{\color{Red} 2}={\color{Green} 9} $;

$ \sqrt[{\color{Red} 2}]{{\color{Green} 9}}={\color{Blue} 3}$ $\Leftrightarrow$ $^{{\color{Blue} 3}}\textrm{log}\ {\color{Green} 9}= {\color{Red}2}$.

Bentuk penulisan logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}=c$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang dominan berbahasa Inggris penulisan logaritma adalah $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}=c $.

Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red}c}$

$ {\color{Blue} a}$ disebut Basis (Bilangan Pokok). Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ adalah $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a}\neq 1$ atau $0 \lt {\color{Blue} a} \lt 1$ dan $ {\color{Blue} a} \gt 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.

$ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ adalah $ {\color{Green} b} \gt 0$

$ {\color{Red}c}$ disebut Hasil logaritma

Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma diatas, sekarang kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;

1. ${}^a\!\log a=1$ karena $ a^{0}=1$

2. ${}^a\!\log 1=0$ karena $ a^{1}=a$

3. ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$

4. ${}^a\!\log x\ -{}^a\!\log y={}^a\!\log \dfrac{x}{y} $

5. ${}^a\!\log x^{n}=n {}^a\!\log x $

6. ${}^a\!\log \sqrt[n]{x}=\dfrac{1}{n}\ {}^a\!\log x $

7. ${}^{a^{n}}\!\log x^{m}=\dfrac{m}{n}\ {}^a\!\log x $

8. ${}^a\!\log x= \dfrac{{}^p\!\log x}{{}^p\!\log a} $

9. ${}^a\!\log x \cdot\ {}^x\!\log b={}^a\!\log b$

10. ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Diketahui $a={}^4\!\log\ x$ dan $b={}^2\!\log\ x$. Jika ${}^4\!\log\ b+{}^2\!\log\ a=2$, maka $a+b$ adalah...
   
   A. 4
   B. 6
   C. 8
   D. 12
   E. 16
   
   
   



$a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$ $\Leftrightarrow $ $2a=b$

$\begin{align}
^{4}log\ b+^{2}log\ a &= 2 \\ \dfrac{1}{2}^{2}log\ b+^{2}log\ a &= 2 \\ ^{2}log\ b^{\dfrac{1}{2}}+^{2}log\ a &= 2 \\ ^{2}log\ \left( b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a \right) &= 2 \\ b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 2^{2} \\ (2a)^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 4 \\ 2a \cdot a^{2} &= 16 \\ a^{3} &= 8 \\ a=2\ \text{dan}\ b=4
\end{align}$

Nilai $a+b=2+4=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$






2. Jika $^{x}log\ w=\dfrac{1}{2}$ dan $^{xy}log\ w=\dfrac{2}{5}$ maka nilai $^{y}log\ w$ adalah$\cdots$
   
   
   A. 8
   B. 6
   C. 4
   D. 2
   E. 1
   
   
   



$\begin{align}
^{x}log\ w=\dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow ^{w}log\ x=2
\end{align}$

Asesmen Nasional Pengganti UN Digelar Maret-Agustus 2021

Ilustrasi. Kabalitbang Kemendikbud menyatakan asesmen nasional pengganti UN untuk SMP dan SMA dilaksanakan Maret-April2021, sementara untuk SD pada Agustus 2021. (ANTARA FOTO/Muhammad Arif Pribadi)

Bimbel SNMPTN - SIMAK UI

Daftar

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan (Kemendikbud) menegaskan asesmen nasional pengganti Ujian Nasional (UN) bakal digelar Maret-April dan Agustus 2021. Pelaksanaannya akan berbeda waktu untuk tingkat SD, SMP, dan SMA.

"Kami rencana SMP, SMA dan Paket A, B, C sebelum puasa, Maret-April [2021]," kata Kepala Badan Penelitian dan Pengembangan Kemendikbud, Totok Suprayitno, dalam Rapat Kerja bersama Komisi X DPR, Jakarta, pada hari Senin, 16/11/2020.

"Sedangkan untuk SD kami rencana bulan Agustus 2021," lanjutnya.

Totok menerangkan untuk SMP, SMA, dan SMK itu laporan hasil asesmen nasional pengganti UN ini akan disampaikan kepada sekolah dan pemerintah daerah pada Juli. Sedangkan untuk SD, hasilnya dilaporkan Oktober mendatang.

Totok menerangkan pelaksanaan asesmen nasonal itu bakal secara bergantian antarsekolah. Hal tersebut, kata dia, guna memastikan semua sekolah terakomodasi untuk melakukan asesmen nasional pengganti UN.

Asesmen nasional ini, kata dia, akan dilakukan di semua sekolah untuk masing-masing beberapa dari kelas V, VIII, dan XI.

Untuk memastikan pelaksanaannya berjalan lancar, Totok menyatakan strategi yang dilakukan akan serupa dengan Ujian Nasional Berbasis Komputer (UNBK). Bagi sekolah yang tak punya komputer, kata dia, akan menumpang di tempat pendidikan lain.

Selama menunggu proses pelaksanaan asesmen nasional itu, Totok mengatakan pihaknya akan membagikan 7.552 paket infrastruktur teknologi informasi dan komunikasi (TIK) ke 2.330 SD dan 5.222 SMP.

Juga ada 11.296 paket infrastruktur TIK yang bakal diberikan ke 11.296 satuan pendidikan dari Dana Alokasi Khusus (DAK) Fisik.

Setiap sekolah akan menerima 15 laptop, satu konektor, satu wireless router, dan satu proyektor. Paket ini, katanya, bisa digunakan di luar pelaksanaan asesmen nasional.

Dalam kesempatan yang sama, Mendikbud Nadiem Makarim kembali menekankan siswa tidak perlu melakukan bimbingan belajar (bimbel) untuk mengikuti asesmen nasional.

"Waktu saya dengar banyak keluar bimbel-bimbel AKM (Asesmen Kompetensi Minimum), saya rasa saya harus segera klarifikasi," ujar Nadiem.

"Untuk orang tua mohon disampaikan, tidak ada keperluan apapun untuk melakukan persiapan untuk murid-muridnya melakukan AKM. Seperti dibilang tadi, nggak semua angkatan akan ambil AKM. Cuma sebagian," imbuhnya.

Ia menegaskan bahan yang akan diujikan dalam AKM yang merupakan bagian dari asesmen nasional itu tidak bisa dipelajari melalui bimbingan belajar. Pasalnya, asesmen ini hanya akan menguji nalar siswa.

Untuk sekolah, pihaknya meminta agar mereka mempersiapkan logistik guna pelaksanaan asesmen nasional pengganti UN. Khususnya, bagi sekolah yang memiliki infrastruktur sehingga dapat membantu sekolah lain.

Sebelumnya, Deputi Bidang Pendidikan dan Agama Kemenko PMK Agus Sartono mengusulkan AN diundur Oktober 2021 untuk SMP, SMA. Sementara untuk SD diusulkan untuk dimundur ke 2022.

Ia menilai target waktu pelaksanaan asesmen pengganti Ujian Nasional terburu-buru, terlebih berkaca pada kendala yang tengah dihadapi dunia pendidikan belakangan ini.

"Saya berikan argumentasi dan rasionalitasnya. Jangan sampai membuat kebijakan sementara tahu hambatan tak mungkin diatasi dalam waktu tiga bulan. Nanti justru membuat ramai di masyarakat," katanya kepada CNNIndonesia.com melalui pesan singkat, Jumat (13/11).

Agus menekankan selama pembelajaran jarak jauh (PJJ) saja, masih ada 46 ribu satuan pendidikan yang tak punya akses listrik dan internet. Sedangkan AN rencananya dilakukan berbasis komputer.

Asesmen nasional sendiri bakal digelar dua hari dengan tiga jenis pengujian, yakni Asesmen Kompetensi Minimum berupa tes literasi dan numerasi, Survei Karakter, dan Survei Lingkungan Belajar.

Konsep tes siswa kelas nasional menggunakan metode random sampling. Jumlah pesertanya 45 siswa per sekolah di pendidikan menengah dan 35 siswa di pendidikan dasar.

Artikels

	Matematika Geometri : Fungsi Dan Invers
	Matematika Aljabar : Faktorial - Permutasi - Kombinasi I
	Fungsi Grafik Kuadrat
	Soal UAS 1 Matematika Kelas 12 IPA dan IPS
	Soal UAS 1 Matematika Peminatan Kelas 12 IPA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik
	Soal PAS 1 KIMIA Kelas 12 SMA MA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik II
	Soal PAS 1 FISIKA Kelas 12 SMA MA
	Soal PAS 1 B.Inggris Kelas 12 SMA MA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik III
	Soal PAS 1 B. Indonesia Kelas 12 SMA MA
	Soal PAS 1 Matematika Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 IPA Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 B. Indonesia Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 B.Inggris Kelas 9 SMP MTs
	Soal HOTS MATEMATIKA UTBK
	Soal PAS 1 PAI Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 KIMIA Kelas 12 SMA MA II
	Soal Dan Pembahasan Persamaan Linear Dua Variabel Dan Lebih
	Fisika - Cara Paham Materi Listrik Elektrikal SMP SMA
	Matematika - Permutasian dan Kombinasi
	Soal dan Pembahasan Koordinat Cartesius