Soal Logaritma Matematika SBMPTN

Daftar Bimbel SBMPTN

Daftar Bimbel SIMAK-UI

Bilangan berpangkat ${\color{Blue} a}^{\color{Red} b}={\color{Green} c}$,
- untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} a}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} b}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $ \sqrt[{\color{Red} b}]{{\color{Green} c}}={\color{Blue} a}$
- untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} b}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} a}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} c}={\color{Red} b}$

Beberapa contoh atau kesimpulan sederhana, bisa kita tuliskan;

$ {\color{Blue} 3}^{\color{Red} 2}={\color{Green} 9} $ $\Leftrightarrow $ $^{{\color{Blue} 3}}\textrm{log}\ {\color{Green} 9}= {\color{Red}2}$;

$ \sqrt[{\color{Red} 2}]{{\color{Green} 9}}={\color{Blue} 3}$ $\Leftrightarrow$ $ {\color{Blue} 3}^{\color{Red} 2}={\color{Green} 9} $;

$ \sqrt[{\color{Red} 2}]{{\color{Green} 9}}={\color{Blue} 3}$ $\Leftrightarrow$ $^{{\color{Blue} 3}}\textrm{log}\ {\color{Green} 9}= {\color{Red}2}$.

Bentuk penulisan logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}=c$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang dominan berbahasa Inggris penulisan logaritma adalah $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}=c $.

Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red}c}$

$ {\color{Blue} a}$ disebut Basis (Bilangan Pokok). Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ adalah $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a}\neq 1$ atau $0 \lt {\color{Blue} a} \lt 1$ dan $ {\color{Blue} a} \gt 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.

$ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ adalah $ {\color{Green} b} \gt 0$

$ {\color{Red}c}$ disebut Hasil logaritma

Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma diatas, sekarang kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;

1. ${}^a\!\log a=1$ karena $ a^{0}=1$

2. ${}^a\!\log 1=0$ karena $ a^{1}=a$

3. ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$

4. ${}^a\!\log x\ -{}^a\!\log y={}^a\!\log \dfrac{x}{y} $

5. ${}^a\!\log x^{n}=n {}^a\!\log x $

6. ${}^a\!\log \sqrt[n]{x}=\dfrac{1}{n}\ {}^a\!\log x $

7. ${}^{a^{n}}\!\log x^{m}=\dfrac{m}{n}\ {}^a\!\log x $

8. ${}^a\!\log x= \dfrac{{}^p\!\log x}{{}^p\!\log a} $

9. ${}^a\!\log x \cdot\ {}^x\!\log b={}^a\!\log b$

10. ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Diketahui $a={}^4\!\log\ x$ dan $b={}^2\!\log\ x$. Jika ${}^4\!\log\ b+{}^2\!\log\ a=2$, maka $a+b$ adalah...
   
   A. 4
   B. 6
   C. 8
   D. 12
   E. 16
   
   
   



$a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$ $\Leftrightarrow $ $2a=b$

$\begin{align}
^{4}log\ b+^{2}log\ a &= 2 \\ \dfrac{1}{2}^{2}log\ b+^{2}log\ a &= 2 \\ ^{2}log\ b^{\dfrac{1}{2}}+^{2}log\ a &= 2 \\ ^{2}log\ \left( b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a \right) &= 2 \\ b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 2^{2} \\ (2a)^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 4 \\ 2a \cdot a^{2} &= 16 \\ a^{3} &= 8 \\ a=2\ \text{dan}\ b=4
\end{align}$

Nilai $a+b=2+4=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$






2. Jika $^{x}log\ w=\dfrac{1}{2}$ dan $^{xy}log\ w=\dfrac{2}{5}$ maka nilai $^{y}log\ w$ adalah$\cdots$
   
   
   A. 8
   B. 6
   C. 4
   D. 2
   E. 1
   
   
   



$\begin{align}
^{x}log\ w=\dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow ^{w}log\ x=2
\end{align}$

$\begin{align}
^{xy}log\ w=\dfrac{2}{5}
& \Leftrightarrow ^{w}log\ {xy}=\dfrac{5}{2} \\ & \Leftrightarrow ^{w}log\ {x}+^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2} \\ & \Leftrightarrow 2+^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2} \\ & \Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2}-2 \\ & \Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\dfrac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow ^{y}log\ {w}=2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$






3. Jika diketahui:
   $f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$ maka $f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})=\cdots$
   
   
   A. 461
   B. 462
   C. 463
   D. 464
   E. 465
   
   
   



$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$
$f(8)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{7}log\ 8$
$f(2^{3})=^{2}log\ 8=3$

$f(16)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{15}log\ 16$
$f(2^{4})=^{2}log\ 16=4$

$f(32)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{31}log\ 32$
$f(2^{5})=^{2}log\ 8=5$
$\vdots$
$f(2^{30})=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{2^{30}-1}log\ 2^{30}$
$f(2^{30})=^{2}log\ 2^{30}=30$

$f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})$
$=3+4+5+\cdots+30$
$=15 \cdot 31 -3$
$=462$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 462$






4. Diketahui ${}^p\!\log 2 =8$ dan ${}^q\!\log 8 =4$. Jika $s=p^{4}$ dan $t=q^{2}$, maka nilai ${}^t\!\log s =\cdots$
   
   
   
   A. $\dfrac{1}{4}$
   B. $\dfrac{1}{3}$
   C. $\dfrac{2}{3}$
   D. $\dfrac{3}{2}$
   E. $3$
   
   
   



$\begin{align}
{}^p\!\log 2 =8\ \Leftrightarrow & p=2^{\dfrac{1}{8}} \\ {}^q\!\log 8 =4\ \Leftrightarrow & q=8^{\dfrac{1}{4}}=2^{\dfrac{3}{4}} \\ \hline
{}^t\!\log s &= {}^{q^{2}}\!\log p^{4} \\ &= \dfrac{4}{2} {}^q\!\log p \\ & =2 \cdot \dfrac{4}{2}\ ^{2^\frac{1}{8}} {}^\!\log 2^\frac{3}{4} \\ & =2 \cdot \dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} {}^2\!\log {2} \\ & =2 \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{3} \\ & = \dfrac{1}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{3}$






5. Diketahui bahwa:
   $^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
   maka nilai $x$ adalah$\cdots$
   
   
   
   1. $\dfrac{1}{3}$
   2. $1$
   3. $4$
   4. $162$
   
   
   



$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
Jika kita perhatikan persamaan diatas, tiap ruas mengandung $^{3}log\ x$ sehingga persamaan akan memenuhi untuk $x=1$.

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 3$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3=$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3$

$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x=$ $^{6}log\ x+^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3$

Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 6$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6=$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3 \cdot\ ^{x}log\ 6$

$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $1+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ 9+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ (9 \cdot 6 \cdot 3)$

$\therefore$ $x=9 \cdot 6 \cdot 3=162$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$






6. Jika diketahui $x=log\ a$, $y=log\ b$ dan $z=log\ c$. Maka bentuk sederhana dari $log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$ dalam $x$, $y$ dan $z$ adalah$\cdots$
   
   
   
   A. $log \left (\dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \right )$
   B. $log\ x-log\ y^{2}+log \sqrt{z}$
   C. $\dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z}$
   D. $x-2y+ \dfrac{1}{2}z$
   E. $x-y^{2}+\sqrt{c} $
   
   
   



$\begin{align}
log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right ) &= log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\right )+log\ \sqrt{c} \\ &=log\ a-log\ b^{2} + log\ c^{\dfrac{1}{2}} \\ &=log\ a-2\ log\ b +\dfrac{1}{2} log\ c \\ &=x-2y +\dfrac{1}{2} z \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x-2y+ \dfrac{1}{2}z$






7. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $log\ a^{2}$ dan keliling $log\ b^{4}$, maka $^{a}log\ b=\cdots$
   
   
   
   A. $\dfrac{1}{4\pi}$
   B. $\dfrac{1}{\pi}$
   C. $\pi$
   D. $ 2\pi$
   E. $10^{2\pi}$
   
   
   



Keliling Lingkaran adalah $2 \pi r$, sehingga berlaku
$\begin{align}
log\ b^{4} &= 2 \pi\ log\ a^{2} \\ 4 log\ b &= 2 \pi\ 2 log\ a \\ 4 log\ b &= 4 \pi\ log\ a \\ log\ b &=\pi\ log\ a \\ \dfrac{log\ b}{log\ a} &= \pi \\ ^{a}log\ b &= \pi
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \pi$






8. $\dfrac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}=\cdots$
   
   
   
   A. $\dfrac{1}{2}$
   B. $1$
   C. $2$
   D. $4$
   E. $5$
   
   
   



Untuk menyelesaikan soal logaritma diatas kita gunakan sifat aljabar $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

$\dfrac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}$
$=\dfrac{\left (^{5}log\ 10\ +\ ^{5}log\ 2 \right) \left(^{5}log\ 10\ -\ ^{5}log\ 2 \right)}{^{5}log\ 20^{\dfrac{1}{2}}}$
$=\dfrac{\left (^{5}log\ 20\right) \left(^{5}log\ 5\right)}{\dfrac{1}{2}\ ^{5}log\ 20}$
$=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}$
$=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$






9. Jika $(p,q)$ merupakan penyelesaian dari sistem berikut:
   \begin{split}
   ^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\ ^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
   \end{split} maka nilai $p-q=\cdots$
   
   
   A. $2$
   B. $4$
   C. $5$
   D. $9$
   E. $\begin{align}\ & 13 \end{align}$
   
   
   



Sistem persamaan diatas mempunyai peneyelesaian $(p,q)$, sehingga kita harus mendapatkan nilai $p$ dan $q$ yang berturut-turut merupakan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan.

Pertama kita coba sederhanakan sistem persamaan. Persamaan pertama sudah berada pada bentuk yang paling sederhana, sehingga yang perlu kita sederhanakan adalah persamaan kedua;
$\begin{align}
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2^{2}}log\ {(2y)}^{2} &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ \dfrac{2}{2}\ ^{2}log\ {2y} &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2y} &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ (^{2}log\ {2}+^{2}log\ {y}) &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2}-^{2}log\ {y} &=1\\ 2\ ^{3}log\ x\ -^{2}log\ {y} &=2
\end{align}$

Sistem persamaan sekarang bisa kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\ 2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ y &=2\\ \end{align}$
Untuk mempermudah penulisan atau penyelesaian persamaan diatas, kita misalkan $^{3}log\ x\ =m$ dan $^{2}log\ y\ =n$. Dengan pemisalan ini sistem persamaan bisa kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
m\ +\ n\ &=4\\ 2\ m\ -\ n\ &=2\\ \end{align} $
Dengan mengeliminasi atau mengsubstitusi sistem persamaan diatas, maka kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=2$.

Untuk nilai $m=2$ maka $^{3}log\ x\ =2$ sehingga $x=3^{2}$
Untuk nilai $n=2$ maka $^{2}log\ y\ =2$ sehingga $y=2^{2}$

Nilai $p-q=9-4=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$






10. Diketahui persamaan
    \begin{split}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )\\ &=^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )\\ &=0\end{split}maka nilai dari $a+b+c$ adalah$\cdots$
    
    
    
    A. $145$
    B. $146$
    C. $166$
    D. $178$
    E. $200$
    
    
    



Untuk menyelesaikan persamaan logaritma diatas, kita coba selesaikan persamaannya satu persatu, persamaan pertama;
$\begin{align}
^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=0\\ ^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{3}log\ 1\\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=1\\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{5}log\ 5\\ \left(^{2}log\ b\right )&=5\\ b&=2^{5}\\ b&=32
\end{align}$

Persamaan kedua;
$\begin{align}^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=0\\ ^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{5}log\ 1\\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=1\\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{2}log\ 2\\ \left(^{3}log\ c\right )&=2\\ c&=3^{2}\\ c&=9
\end{align}$

Persamaan ketiga;
$\begin{align}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=0\\ ^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{2}log\ 1\\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&= 1\\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{3}log\ 3\\ \left(^{5}log\ a\right )=3\\ a=5^{3}\\ a=125
\end{align}$

$a+b+c=125+32+9=166$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 166$






11. Nilai $\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}=\cdots$
    
    
    
    
    A. $0$
    B. $1$
    C. $2$
    D. $5$
    E. $6$
    
    
    



$\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \dfrac{^{5}log\ 6}{^{5}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5\ +\ ^{3}log\ 5}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \dfrac{^{5}log\ 3}{^{5}log\ 3}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}$
$=\dfrac{^{2}log\ 3\ +\ 1}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 3\ +\ ^{2}log\ 2}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ (3 \cdot 2)}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 6}{^{2}log\ 6}$
$=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$






12. Jika $^{2}log\ (a-b)=4$, maka $^{4}log\ \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )=\cdots$
    
    
    
    A. $\dfrac{^{2}log\ a-4}{4}$
    B. $\dfrac{^{2}log\ a+4}{4}$
    C. $\dfrac{^{2}log\ a-2}{2}$
    D. $\dfrac{^{2}log\ a+2}{2}$
    E. $\dfrac{^{2}log\ a-1}{2}$
    
    
    



$^{4}log\ \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )$
$=\ ^{4}log\ \left (\dfrac{4\sqrt{a}}{a-b} \right )$
$=\ ^{4}log\ 4\sqrt{a} -\ ^{4}log\ (a-b)$
$=\ ^{4}log\ 4 +\ ^{4}log\ \sqrt{a} -\ \dfrac{1}{2} \cdot ^{2}log\ (a-b)$
$=1 +\ ^{2^{2}}log\ a^{\dfrac{1}{2}} -\ \dfrac{1}{2} \cdot 4$
$=1 +\ \dfrac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 2$
$=\dfrac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 1$
$=\dfrac{^{2}log\ a -\ 4}{4}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{^{2}log\ a-4}{4}$






13. Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( ^{(2-x)}log\ 27 \right )^{2}=9$ maka nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
    
    
    
    A. $\dfrac{8}{3}$
    B. $\dfrac{5}{3}$
    C. $\dfrac{2}{3}$
    D. $-\dfrac{2}{3}$
    E. $-\dfrac{8}{3}$
    
    
    



$\begin{align}
\left ( ^{(2-x)}log\ 27 \right )^{2} &= 9 \\
^{(2-x)}log\ 27 & = \pm \sqrt{9} \\ ^{(2-x)}log\ 27 & = \pm 3 \\ ^{(2-x)}log\ 27 & = 3\ \text{atau} \\ ^{(2-x)}log\ 27 & = - 3
\end{align}$

$\begin{align}
^{(2-x)}log\ 27 & = 3 \\ (2-x)^{3} & = 27 \\ (2-x)^{3} & = 3^{3} \\ 2-x & = 3 \\ 2-3 & = x \\ -1 & = x
\end{align}$

$\begin{align}
^{(2-x)}log\ 27 & = -3 \\ (2-x)^{-3} & = 27 \\ (2-x)^{-3} & = \dfrac{1}{3}^{-3} \\ 2-x & = \dfrac{1}{3} \\ 6-3x & = 1 \\ 6-1 & = 3x \\ \dfrac{5}{3} & = x
\end{align}$

$x_{1}+x_{2}= \dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{2}{3}$






14. ${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3$ dan ${}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $, maka $ x + y = \cdots $
    
    
    
    1. $2\sqrt{7}$
    2. $-4\sqrt{7}$
    3. $-2\sqrt{7}$
    4. $4\sqrt{7}$
    
    
    



persamaan pertama ${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3 $, dengan mengusahakan bilangan pokok logaritma jadi sama.
$ \begin{align}
{}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y & = 3 \\ {}^3 \log x + 2\ {}^{3^2} \log y & = 3 \\ {}^3 \log x + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^3 \log y & = 3 \\ {}^3 \log x + {}^3 \log y & = 3 \\ {}^3 \log xy & = 3 \\ xy & = 3^3 \\ xy & = 27 \\
\end{align} $
Syarat bilangan ${}^3 \log x$ adalah $ x > 0 $ dan syarat ${}^9 \log y$ adalah $ y > 0 $.

Lalu kita bermain dari persamaan kedua $ {}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $
$ \begin{align}
{}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) & = 0 \\ \dfrac{x-y}{2} & = 3^0 \\ \dfrac{x-y}{2} & = 1 \\ x - y & = 2
\end{align} $

Dari hasil yang kita peroleh dari persamaan pertama $ xy = 27 $ dan kedua $ x - y = 2 $;
$ \begin{align}
x - y & = 2 \\ (x - y)^2 & = 2^2 \\ x^2 + y^2 - 2xy & = 4 \\ x^2 + 2xy + y^2 - 4xy & = 4 \\ (x + y)^2 - 4xy & = 4 \\ (x + y)^2 & = 4 + 4xy \\ (x + y)^2 & = 4 + 4. 27 \\ (x + y)^2 & = 112 \\ x + y & = \pm \sqrt{112} \\ x + y & = \pm 4 \sqrt{7}
\end{align} $

Karena $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ dari syarat, maka nilai $ x + y$ yang memenuhi hanya $4\sqrt{7}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ 4\sqrt{7}$






15. Jika $ ^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) =0$, nilai $2x+^{4}log\ x^{2}$ adalah...
    
    
    
    
    A. $10$
    B. $12$
    C. $19$
    D. $20$
    E. $24$
    
    
    



$\begin{align}
^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) &= 0 \\
^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) &= ^{7}log\ 1 \\
^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) &= 1 \\
^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) &= ^{3}log\ 3 \\
^{2}log\ x &= 3 \\
x &= 2^{3} =8
\end{align}$

$\begin{align}
2x+^{4}log\ x^{2} &= 2(8)+^{4}log\ (8)^{2} \\ & = 16 + ^{4}log\ (8)^{2} \\ & = 16 + ^{4}log\ 4^{3} \\ & = 16 + 3 = 19
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 19$







16. Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( ^{3}log\ (x+1) \right )^{2}=4$ maka nilai $x_{1} x_{2}$ adalah...
    
    
    
    
    A. $8$
    B. $\dfrac{64}{9}$
    C. $-\dfrac{8}{9}$
    D. $-\dfrac{64}{9}$
    E. $-\dfrac{64}{9}$
    
    
    



\left ( ^{3}log\ (x+1) \right )^{2} &= 4 \\
^{3}log\ (x+1) &= \pm \sqrt{ 4} \\
^{3}log\ (x+1) &= \pm 2 \\
^{3}log\ (x+1) &= 2\ \text{atau} \\ ^{3}log\ (x+1) &= - 2
\end{align}$

$\begin{align}
^{3}log\ (x+1) &= 2 \\ 3^{2} & = x+1 \\ 9 & = x+1 \\ x & = 8
\end{align}$

$\begin{align}
^{3}log\ (x+1) &= -2 \\ 3^{-2} & = x+1 \\ \dfrac{1}{9} & = x+1 \\ 1 & = 9x+9 \\ -8 & = 9x \\ -\dfrac{8}{9} & = x
\end{align}$

$x_{1} x_{2}=-\dfrac{8}{9} \times 8 = -\dfrac{64}{9}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{64}{9}$







17. Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x \gt 1$ dan $y \gt 0$. Jika $xy=x^{y}$ dan $\dfrac{x}{y}=x^{5y}$, maka $x^{2}+3y=\cdots$
    
    
    
    
    A. $29$
    B. $28$
    C. $27$
    D. $26$
    E. $25$
    
    
    



$\begin{align}
x^{y} &= xy \Leftrightarrow {}^x\!\log (xy)=y \\ {}^x\!\log (xy) &= y \\ {}^x\!\log x+{}^x\!\log y &= y \\ 1+{}^x\!\log y &= y \\ {}^x\!\log y &= y-1 \cdots (pers.1)
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{x}{y} &= x^{5y} \Leftrightarrow {}^x\!\log (\dfrac{x}{y}) = 5y \\ {}^x\!\log (\dfrac{x}{y}) &= 5y \\ {}^x\!\log x-{}^x\!\log y &= 5y \\ 1-{}^x\!\log y &= 5y \\ {}^x\!\log y &= 1-5y\ \cdots (pers.2)
\end{align}$

Dengan mensubstitusi $(pers.1)$ dan $(pers.2)$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
{}^x\!\log y &= {}^x\!\log y \\ y-1 &= 1-5y \\ 6y &= 2\ \Rightarrow y= \dfrac{1}{3} \\ \hline
xy &= x^{y} \\ x\left( \dfrac{1}{3} \right) &= x^{\dfrac{1}{3}} \\ x &= 3x^{\dfrac{1}{3}} \\ x^{3} &= 27x\ \Rightarrow x^{2} = 27 \\ \hline
x^{2}+3y &= 27+3(\dfrac{1}{3})=28
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$







18. Jika $4^{y+3x}=64$ dan ${}^x\!\log (x+12)-3{}^x\!\log 4=-1$ maka $x+2y=\cdots$
    
    
    
    
    A. $86$
    B. $34$
    C. $-5$
    D. $-14$
    E. $-34$
    
    
    



$\begin{align}
{}^x\!\log (x+12)-3{}^x\!\log 4 &= -1 \\ {}^x\!\log (x+12)- {}^x\!\log 4^{3} &= -1 \\ {}^x\!\log \dfrac{(x+12)}{4^{3}} &= {}^x\!\log \dfrac{1}{x} \\ \dfrac{(x+12)}{4^{3}} &= \dfrac{1}{x} \\ x^{2}+12x &= 64 \\ x^{2}+12x-64 &= 0 \\ (x+16)(x-4) &= 0 \\ x=-16\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ &\ x=4
\end{align}$

$\begin{align}
4^{y+3x} &= 64 \\ 4^{y+3x} &= 4^{3} \\ y+3x &= 3 \\ y &= 3-3x \\ x=4\ & \Rightarrow y=-9 \\ \hline
x+2y= & 4+2(-9)=-14
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$












19. Jika $a \gt 1$, $b \gt 1$ dan $c \gt 1$ maka $\left( {}^a\!\log \dfrac{1}{b} \right)\left( {}^b\!\log \dfrac{1}{c} \right)\left( {}^c\!\log \dfrac{1}{a} \right)=\cdots$
    
    
    
    
    A. 1-abc
    B. abc
    C. -abc
    D. 1
    E. -1
    
    
    



$\begin{align}
& \left( {}^a\!\log \dfrac{1}{b} \right)\left( {}^b\!\log \dfrac{1}{c} \right)\left( {}^c\!\log \dfrac{1}{a} \right) \\ & = \left( {}^a\!\log b^{-1} \right)\left( {}^b\!\log c^{-1} \right)\left( {}^c\!\log a^{-1} \right) \\ & = (-1) \left( {}^a\!\log b \right)(-1)\left( {}^b\!\log c \right)(-1)\left( {}^c\!\log a \right) \\ & = (-1) {}^a\!\log b \cdot {}^b\!\log c \cdot {}^c\!\log a \\ &= -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -1$







20. Jika $f \left(x^{2}+3x+1 \right) = {}^2\!\log \left(2x^{3}-x^{2}+7 \right)$, $x \geq 0$ maka $f(5)=\cdots$
    
    
    
    
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4
    E. 5
    
    
    



$\begin{align}
f \left(x^{2}+3x+1 \right) &= {}^2\!\log \left(2x^{3}-x^{2}+7 \right) \\ \text{untuk}\ x=1, \text{maka:}\\ f \left((1)^{2}+3(1)+1 \right) &= {}^2\!\log \left(2(1)^{3}-(1)^{2}+7 \right) \\ f \left(5 \right) &= {}^2\!\log \left(8 \right) \\ &= {}^2\!\log 2^{3} \\ &= 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$

Artikels

	Matematika Geometri : Fungsi Dan Invers
	Matematika Aljabar : Faktorial - Permutasi - Kombinasi I
	Fungsi Grafik Kuadrat
	Soal UAS 1 Matematika Kelas 12 IPA dan IPS
	Soal UAS 1 Matematika Peminatan Kelas 12 IPA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik
	Soal PAS 1 KIMIA Kelas 12 SMA MA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik II
	Soal PAS 1 FISIKA Kelas 12 SMA MA
	Soal PAS 1 B.Inggris Kelas 12 SMA MA
	Fisika : Satu Soal 28 Pertanyaan Rangkaian Arus Bolak - Balik III
	Soal PAS 1 B. Indonesia Kelas 12 SMA MA
	Soal PAS 1 Matematika Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 IPA Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 B. Indonesia Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 B.Inggris Kelas 9 SMP MTs
	Soal HOTS MATEMATIKA UTBK
	Soal PAS 1 PAI Kelas 9 SMP MTs
	Soal PAS 1 KIMIA Kelas 12 SMA MA II
	Soal Dan Pembahasan Persamaan Linear Dua Variabel Dan Lebih
	Fisika - Cara Paham Materi Listrik Elektrikal SMP SMA
	Matematika - Permutasian dan Kombinasi
	Soal dan Pembahasan Koordinat Cartesius
	Asesmen Nasional Pengganti UN Digelar Maret-Agustus 2021