Limit suatu fungsi pada suatu titik a dalam domainnya (jika ada) adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut ketika argumennya mendekati a Konsep limit adalah konsep dasar kalkulus dan analisis. Hal ini digunakan untuk mendefinisikan turunan dan integral tertentu, dan juga dapat digunakan untuk menganalisis perilaku lokal fungsi di dekat tempat tujuan.
Secara informal, suatu fungsi dikatakan memiliki limit L pada a jika memungkinkan untuk membuat fungsi tersebut mendekati L secara sewenang-wenang dengan memilih nilai yang lebih dekat dan lebih dekat ke a. Perhatikan bahwa nilai aktual pada a tidak relevan dengan nilai limit.
Notasinya sebagai berikut:
$$\lim_{x\to a} f(x)=L$$
Titik limit menentukan cara kita mendekati evaluasi limit suatu fungsi. Perlakuan terhadap limit yang melibatkan variabel bebas yang cenderung tak hingga berbeda dan karena itu kita perlu membedakan limit ini dari yang lain. Jadi, ada dua kategori limit yang dievaluasi:
- Batas fungsi aljabar ketika variabel cenderung bernilai hingga.
- Batas fungsi aljabar ketika variabel cenderung tak terbatas Batas fungsi aljabar ketika variabel cenderung bernilai hingga
Intinya, kita akan menggunakan tiga teknik berikut untuk menentukan batas ekspresi aljabar ketika variabel mendekati nilai hingga – bukan tak terhingga. Metode-metode ini adalah:
- Penyederhanaan atau rasionalisasi (untuk fungsi radikal)
- Menggunakan bentuk batas standar
- Membatalkan faktor linier (untuk fungsi rasional)
Kita harus menyadari bahwa jika fungsi yang diberikan dalam bentuk determinate, maka kita tidak perlu memproses ekspresi dan mendapatkan limit hanya dengan memasukkan nilai limit x ke dalam ekspresi. Beberapa masalah dapat diselesaikan secara alternatif menggunakan salah satu metode di atas. Penyederhanaan atau rasionalisasi (untuk fungsi radikal)
Kami menyederhanakan atau merasionalisasi (jika nomina terlibat) dan mengubah bentuk tak tentu menjadi bentuk tertentu. Kita perlu memeriksa bentuk tak tentu setelah setiap penyederhanaan dan harus berhenti jika ekspresi berubah menjadi pasti. Selain itu, kita dapat menggunakan hasil berikut untuk merasionalisasi ekspresi yang melibatkan nomina :
Contoh Soal 1
Gunakan hukum batas untuk penyelesaian \[\lim_{x→−3}(4x+2). \nonumber\]
Mari kita terapkan hukum limit selangkah demi selangkah untuk memastikan kita memahami cara kerjanya. Kita perlu mengingat persyaratan bahwa, pada setiap penerapan rumus limit, batas-batas baru harus ada agar hukum limit dapat diterapkan.
---->
\[\begin{align*} \lim_{x→−3}(4x+2) &= \lim_{x→−3} 4x + \lim_{x→−3} 2 & & \text{Terapkan hukum penjumlahan.}\\[4pt] &= 4⋅\lim_{x→−3} x + \lim_{x→−3} 2 & & \text{Terapkan hukum kelipatan konstan.}\\[4pt] &= 4⋅(−3)+2=−10. & & \text{Terapkan hasil limit dasar dan sederhanakan.} \end{align*}\]
Contoh Soal 2
Penyelesaian Limit Menggunakan Hukum Limit
Gunakan hukum batas untuk penyelesaian \[\lim_{x→2}\frac{2x^2−3x+1}{x^3+4}. \nonumber\]
Untuk menemukan limit ini, kita perlu menerapkan hukum limit beberapa kali. Sekali lagi, kita perlu mengingat bahwa ketika kita menulis ulang limit ke limit lainnya, setiap limit baru harus ada agar hukum limit dapat diterapkan.
---->
\[\begin{align*} \lim_{x→2}\frac{2x^2−3x+1}{x^3+4}&=\frac{\displaystyle \lim_{x→2}(2x^2−3x+1)}{\displaystyle \lim_{x→2}(x^3+4)} & & \text{Terapkan hukum hasil bagi }(2)^3+4≠0.\\[4pt]
&=\frac{\displaystyle 2⋅\lim_{x→2}x^2−3⋅\lim_{x→2}x+\lim_{x→2}1}{\displaystyle \lim_{x→2}x^3+\lim_{x→2}4} & & \text{Terapkan hukum penjumlahan dan hukum kelipatan konstan.}\\[4pt]
&=\frac{\displaystyle 2⋅\left(\lim_{x→2}x\right)^2−3⋅\lim_{x→2}x+\lim_{x→2}1}{\displaystyle \left(\lim_{x→2}x\right)^3+\lim_{x→2}4} & & \text{Terapkan hukum kekuatan /skala garis linear}\\[4pt]
&= \frac{2(4)−3(2)+1}{(2)^3+4}=\frac{1}{4}. & & \text{ Terapkan hukum batas dasar dan sederhanakan.} \end{align*}\]
Contoh Soal 3
Limits of Polynomial and Rational Functions
Contonya \(p(x)\) and \(q(x)\) menjadi fungsi polinomial. menjadi \(a\) menjadi bilangan real. Kemudian:
\[\lim_{x→a}p(x)=p(a)\]
\[\lim_{x→a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}\]
Ketika \(q(a)≠0\).
Untuk melihat bahwa teorema ini berlaku, pertimbangkan polinomial
\[p(x)=c_nx^n+c_{n−1}x^{n−1}+⋯+c_1x+c_0.\]
Dengan menerapkan hukum penjumlahan, kelipatan konstanta, dan pangkat, kita akan mendapatkan
---->
\[ \begin{align*} \lim_{x→a}p(x) &= \lim_{x→a}(c_nx^n+c_{n−1}x^{n−1}+⋯+c_1x+c_0) \\[4pt] &= c_n\left(\lim_{x→a}x\right)^n+c_{n−1}\left(\lim_{x→a}x\right)^{n−1}+⋯+c_1\left(\lim_{x→a}x\right)+\lim_{x→a}c_0 \\[4pt] &= c_na^n+c_{n−1}a^{n−1}+⋯+c_1a+c_0 \\[4pt] &= p(a) \end{align*}\]
Sekarang mengikuti dari hukum hasil bagi bahwa jika \(p(x)\) dan \(q(x)\) adalah polinomial untuk yang mana \(q(a)≠0\),
kemudian :
\[\lim_{x→a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}.\]
Bimbel SBMPTN - SIMAK UI
Info Bimbel SBMPTN 2021 :
Tidak ada komentar:
Posting Komentar