Bimbel TES SMAKBO
Bimbel SBMPTN / SIMAK_UI
Terkadang, tidak mungkin mengevaluasi integral hanya dengan menggunakan sifat-sifat integral, atau bahkan dengan mensubstitusi beberapa ekspresi.
Ketika metode tersebut tidak efektif, ada cara lain: integrasi parsial. Ini digunakan ketika salah satu faktor produk dapat disederhanakan melalui integrasi dan faktor lainnya dapat disederhanakan melalui diferensiasi. Misalkan, \(\int\ln {x}\) dapat diselesaikan menggunakan integrasi parsial.
Mari kita lihat caranya!
Apa itu integrasi parsial?
Integrasi parsial atau integrasi per bagian adalah proses yang membantu menemukan integral dari hasil fungsi menggunakan rumus:
di mana u adalah bagian dari hasil yang mudah dibedakan dan dv mudah diintegrasikan.
Namun, ketika integrasi parsial dilakukan, kita masih perlu menggunakan aturan integral untuk menyelesaikannya.
Perlu sedikit penyegaran tentang aturan dan properti integrasi ? Di sini mereka:
| Sifat kelipatan konstan dari integral | $$\int{(c\times f(x))}dx=c\times \int{f(x)}dx$$ |
| Aturan penjumlahan untuk integral | $$\int{(f(x) + g(x))}dx=\int{f(x)}dx + \int{g(x)}dx$$ |
| Aturan selisih untuk integral | $$\int{(f(x) - g(x))}dx=\int{f(x)}dx - \int{g(x)}dx$$ |
| Aturan substitusi | $$\int{f(\varphi(t))}\varphi^{\prime}(t)dt=\int{f(x)}dx$$ |
| Integrasi berdasarkan bagian | $$\int{u}dv=uv-\int{v}du$$ |
Mengapa integrasi parsial sangat berguna?
Seperti yang telah disebutkan, beberapa integral terlalu rumit untuk diselesaikan menggunakan sifat-sifat integral atau dengan metode substitusi. Integrasi parsial sering digunakan ketika integran adalah produk.
Tip: Ketika melihat \(\ln{x}\) di integral, ini harus selalu menggunakan integrasi parsial, dan logaritma natural harus selalu menjadi faktor yang membedakan!
Cara menggunakan integrasi parsial
Siap untuk mengerjakan beberapa contoh masalah bersama? Mari kita lakukan!
Contoh Soal 1
Mencari integralnya:
Apakah alarm mental Anda berbunyi? Integran berisi \(\ln{x}\), jadi kita perlu menggunakan integrasi parsial! Kita tahu bahwa integral ini bukan integral tabel, dan kita tidak dapat melihat ekspresi apa pun yang dapat disubstitusikan — tetapi kita tahu bahwa turunan dari \(\ln{x}\) adalah \(\frac1x\). Jadi, kita perlu menemukan fungsi yang dapat dengan mudah dibedakan. Ingat bahwa dengan mengalikan ekspresi apa pun dengan satu, ekspresi tidak berubah, jadi kalikan integran dengan \(1\):
$$\int \ln{x}\times 1dx$$
Sekarang kita memiliki produk (dan kita tahu bahwa \(\ln{x}\) dapat dengan mudah dibedakan dan \(1\) dapat dengan mudah diintegrasikan), biarkan \(u=\ln{x}\) dan \(dv=1dx\). Untuk menggunakan rumus integrasi parsial, pertama-tama kita harus menentukan \(du\) dan \(v\).
$$\int \ln{x}\times 1dx=\left|\begin{matrix} u=\ln{x} & du=\mathord{?}\\ dv=1 dx & v=\mathord{?}\end{matrix}\right|$$
Untuk menentukan \(du\) dan \(v\), cari diferensialnya menggunakan \(du=u^{\prime}dx\) dan integrasikan \(dv\):
$$\int \ln{x}\times 1dx=\left|\begin{matrix} u=\ln{x} & du=(\ln{x})^{\prime}dx \\ dv=1 dx & v=\int1dx \end{matrix}\right|$$
Seperti yang kami sebutkan, turunan dari \(\ln{x}\) adalah \(\frac{1}{x}\), dan integral \(\int1dx\) adalah sama dengan \(x\), jadi gunakan substitusi:
$$\int \ln{x}\times 1dx=\left|\begin{matrix} u=\ln{x} & du=\frac1xdx \\ dv=1 dx & v=x \end{matrix}\right|$$
Kita telah menentukan semua yang kita butuhkan untuk integrasi parsial, jadi ingatlah rumus integrasi parsial \(\int u~dv=uv-\int v~du\) dan ganti elemen yang sesuai:
$$\int \ln{x}\times1dx=\ln{x}\times x-\int x~\times\frac1xdx$$
Integran di ruas kanan persamaan dapat disederhanakan dengan meniadakan faktor persekutuan \(x\), jadi ayo lakukan itu:
\(\int \ln{x}\times1dx=\ln{x}\times x-\int 1dx\)
Ingat: integral \(\int1dx\) adalah sama dengan \(x\):
$$\int \ln{x}\times1dx=\ln{x}\times x-x$$
Karena turunan dari suatu konstanta adalah nol, kita perlu menambahkan konstanta integrasi \(C\) untuk memasukkan semua kemungkinan fungsi anti-turunan dalam hasil:
$$\int\ln{x}\times1dx=\ln{x}\times x-x+C, C\in \mathbb{R}$$
Kita berhasil! Integral tak tentu \(\int \ln{x}dx\) sama dengan:
Contoh Soal 2
Mencari Integral:
Oke, kita tahu ini bukan integral tabel, juga tidak ada ekspresi yang bisa diganti. Kita juga tahu bahwa integran adalah produk. Jadi, kita perlu mencari fungsi yang dapat disederhanakan ketika dideferensiasikan, dan fungsi lain yang dapat dengan mudah diintegrasikan. Karena turunan dari \(x\) sama dengan \(1\), kita dapat dengan mudah mengambil \(u=x\) dan \(dv=\sin{x}dx\).
$$\int x\sin(x) dx=\left|\begin{matrix} u=x & du=\mathord{?} \\ dv=\sin{x} dx & v=\mathord{?} \end{matrix}\right|$$
Untuk menentukan du dan v, cari diferensialnya menggunakan \(du=u^{\prime}dx\) dan integrasikan dv:
$$\int x\sin(x)dx=\left|\begin{matrix} u=x & du=(x)^{\prime}dx \\ dv=\sin{x} dx & v=\int\sin{x}dx \end{matrix}\right|$$
Seperti yang telah disebutkan, turunan dari x adalah 1 dan integral \(\int\sin{x}dx\) sama dengan \(-\cos{x}\), jadi gunakan substitusi:
$$\int x\sin(x)dx=\left|\begin{matrix} u=x & du=1dx \\ dv=\sin{x} dx & v=-\cos{x} \end{matrix}\right|$$
Karena kita memiliki semua yang kita butuhkan untuk integrasi parsial, ingatlah rumus integrasi parsial \(\int u~dv=uv-\int v~du\) dan gantikan elemen yang sesuai:
$$\int x\sin(x)dx=x\times (-\cos{x})-\int (-\cos{x})\times1dx$$
Perhatikan bahwa integral di ruas kanan persamaan dapat disederhanakan dengan menggunakan properti \(\int a\times f(x)dx=a\times\int f(x)dx\):
\(\int x\sin(x)dx=x\times (-\cos{x})+\int \cos{x}\times1dx\)
Ingat, saat mengalikan ekspresi dengan 1, hasilnya adalah ekspresi itu sendiri:
\(\int x\sin(x)dx=x\times (-\cos{x})+\int \cos{x}dx\)
Ingat bahwa integral \(\int\cos{x}dx\) sama dengan \(\sin{x}\) dan sederhanakan hasil kali pertama di ruas kanan:
$$\int x\sin(x)dx=-x\times \cos{x}+\sin{x}$$
Karena turunan dari suatu konstanta adalah nol, kita perlu menambahkan konstanta integrasi \(C\) untuk memasukkan semua kemungkinan fungsi anti-turunan dalam hasil:
$$\int x\sin(x)dx=-x\times \cos{x}+\sin{x}+C, C\in \mathbb{R}$$
Jadi integral tak tentu \(\int x\sin(x) dx\) sama dengan:
Itu tidak terlalu buruk, kan? Sekarang setelah kita mempelajari beberapa contoh terperinci, mari tinjau keseluruhan proses sehingga Anda dapat menggunakannya kapan pun Anda membutuhkannya:
Ringkasan studi
- Perluas ekspresi, jika perlu
- Persiapkan integrasi parsial dengan mendefinisikan u dan dv.
- Cari diferensial menggunakan du=u'dx.
- Tentukan v dengan mengevaluasi integral.
- Substitusikan u, v, du dan dv ke dalam rumus integrasi parsial.
- Substitusikan u, v, du dan dv ke dalam rumus integrasi parsial.
- Jika memungkinkan, sederhanakan argumen integral tersebut.
- Evaluasi integralnya.
- Jika memungkinkan, sederhanakan ekspresinya.
- Tambahkan konstanta integrasi.
Lakukan sendiri!
Apakah Anda merasa percaya diri atau bingung setelah contoh-contoh itu, tidak ada salahnya untuk mengerjakan beberapa soal latihan!
Temukan integral:
- \(\int x\times \cos(x)dx\)
- \(\int(2x+1)e^xdx\)
- \(\int x^2\ln(x) dx\)
- \(\int e^{x}x dx\)
Jawaban:
- \(x\times \sin{x}+\cos{x}+C, C\in \mathbb{R}\)
- \(2xe^x-e^x+C, C \in \mathbb{R}\)
- \(\frac{\ln{x}\times x^3}{3}-\frac{x^3}{9}+C, C\in \mathbb{R}\)
- \(xe^x-e^x+C, C \in \mathbb{R}\)
Bimbel SBMPTN - SIMAK UI
Bimbel Tes SMAKBO
Info Bimbel SBMPTN 2021 :
Info Bimbel SIMAK 2021 :
